
- •Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами.
- •Декартово произведение. Отображения множеств.
- •Мощность множества. Теорема Кантора.
- •Счетные и не более чем счетные множества. Несчетность множества вещественных чисел и счетность множества рациональных чисел.
- •Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум. Основное свойство супремума и инфимума.
- •Числовая последовательность и ее предел. Эквивалентность различных определений предела.
- •Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел. Теоремы о сравнении пределов. Единственность предела.
- •Арифметические свойства пределов (предел суммы, произведения, частного).
- •Теорема о пределе произведения (частного) последовательностей.
- •Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Подпоследовательности, частичные пределы, теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •Свойства подпоследовательностей (существование предела при совпадении частичных пределов).
- •Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •Критерий Коши для последовательностей.
- •Предел функции, определение предела на языке окрестностей, последовательностей, на языке ε, δ. Их эквивалентность.
- •Теоремы о сравнении пределов функций.
- •Предел произведения, частного, суммы функций.
- •Критерий Коши для пределов функций.
- •Монотонные функции. Правый и левый пределы.
- •Теорема о существовании предела монотонной функции.
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •1. Первый замечательный предел:
- •2. Второй замечательный предел:
- •Непрерывность функции. Определения, их эквивалентность.
- •Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции.
- •Односторонняя непрерывность. Непрерывность на отрезке. 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса.
- •Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
- •Теорема о существовании нулей непрерывной функции, принимающей на концах промежутка значения разных знаков.
- •Теорема о непрерывности обратной функции.
- •Классификация точек разрыва.
- •Производная функции. Непрерывность функции, имеющей производную. Правая и левая производные.
- •Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференцируемости и существования производной.
- •Касательная к графику, ее существование.
- •Производная суммы, произведения, частного.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные от тригонометрических функций и обратных к ним.
- •Производная от логарифмической, показательной и степенной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •Локальные экстремумы и теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши.
- •Теорема Лагранжа и теорема Коши.
- •Теорема Лопиталя.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Условия возрастания и убывания функции.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Выпуклость кривой (графика функции), достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.
- •Асимптоты.
- •Полное исследование и построение графика.
- •Первообразная и ее свойства. Буква z дальше будет обозначать знак интеграла!
- •Неопределенный интеграл. Следствия из определения.
- •Линейность операции интегрирования.
- •Метод интегрирования по частям, замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Теорема о разложении рациональной функции на элементарные дроби (без доказательства).
- •Интегрирование элементарных дробей.
- •Нахождение интегралов, сводящимся к интегралам от рациональных функций.
- •Разбиения. Определенный интеграл Римана.
- •Геометрический смысл интеграла.
- •Необходимое условие интегрируемости.
- •Суммы Дарбу, их свойства.
- •Существование интеграла, в случае, когда пределы верхних и нижних сумм Дарбу совпадают. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
- •Интегрируемость непрерывной функции.
- •Аддитивные свойства интеграла и следствия.
- •Интеграл от линейной комбинации функций.
- •Неравенства для интегралов.
- •Интегрируемость модуля функции.
- •Теорема о среднем.
- •Теорема о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям.
- •Вычисление площади в декартовых координатах.
- •Вычисление площади в полярных координатах.
- •Вычисление объема тела вращения.
- •Вычисление площади боковой поверхности тела вращения.
- •Кривые. Гладкая кривая. Формула длины гладкой кривой.
Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум. Основное свойство супремума и инфимума.
Множество вещественных чисел и его подмножества. Грани множества на числовой прямой. Множество A ⊂ R называется ограниченным сверху, если ∃M ∈ R: x ≤ M ∀x ∈ A. Число M называется при этом верхней гранью множества A.
Определение 1. Наименьшая из всех верхних граней множества A называется точной верхней гранью множества A или супремумом и обозначается через sup A = supx ∈A x. Множество A ⊂ R называется ограниченным снизу, если ∃m ∈ R: m ≤ x ∀x ∈ A. Число m называется при этом нижней гранью множества A.
Определение 2. Наибольшая из всех нижних граней множества A называется точной нижней гранью множества A или инфимумом и обозначается inf A = infx∈A x. Если множество A не ограничено сверху (снизу), по определению полагаем, что supA = +∞, (inf A = −∞). Множество A ⊂ R называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу. Из определений вытекает, что множество A ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором конечном промежутке [m, M].
Теорема 1. (основное свойство супремума и инфимума). Число M является точной верхней (нижней гранью) множества X ⇔ M – верхняя (нижняя) грань X и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε (x < M + ε).
Доказательство. Пусть M = sup X. Если не существует x: x > M − ε, то x ≤ M − ε ∀x ∈ X и тогда (M –ε) – верхняя грань, что противоречит тому, что M – точная верхняя грань. Обратно, пусть M – верхняя грань и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε. Предположим противное, что M не является точной верхней гранью. Тогда найдется верхняя грань M1 < M. Возьмем ε = M −M1 и найдем x ∈ X: x > M −ε = M1. Таким образом, M1 – не верхняя грань, противоречие. Пусть M = inf X. Из определений вытекает, что число M есть инфимум множества X ⇔ −M – супремум множества −X = {−x: x ∈ X}. Тогда утверждение в случае инфимума вытекает из уже доказанного. Ч.т.д.
Замечание 1. Можно утверждение теоремы 1 взять в качестве эквивалентного определения супремума и инфимума. Важными примерами числовых множеств являются: интервал (a, b), отрезок (промежуток) [a, b] полуинтервалы [a, b), (a, b]. Пусть a ∈ R. Тогда множество (a − ε,a + ε) называется ε-окрестностью точки a. Множество X называется окрестностью точки a ∈ R, если найдется ε-окрестность U точки a: U ⊂ X. Иногда удобно дополнить множество вещественных чисел бесконечными числами +∞,−∞,∞. Множество X называется окрестностью точки +∞, −∞, или ∞, если найдется такое число M > 0, что (M,+∞) ⊂ X, (−∞,M) ⊂ X, или (−∞,M) ∪ (M,+∞) ⊂ X, соответственно. Приведем одно вспомогательное утверждение, которое вытекает непосредственно из определения вещественного числа, и будет использоваться позднее.
Лемма 1 (принцип вложенных отрезков). Пусть [a1,b1] ⊃ [a2,b2] ⊃ [a3,b3] ⊃ ... – последовательность вложенных промежутков. Тогда найдутся числа a, b ∈ R: a ≤ b и ∩∞ i=1[ai,bi] = [a,b].
Числовая последовательность и ее предел. Эквивалентность различных определений предела.
Отображение F: N → R (или F: N → C) называется числовой последовательностью. Величина F(n) обычно обозначается через xn и называется элементом последовательности. Обычно последовательность с элементами x1,x2,x3,... обозначают через {xn}. Мы будем рассматривать далее последовательности вещественных чисел, хотя основные утверждения остаются верными и в комплексном случае.
Говорим, что последовательность xn не убывает (возрастает), если из того что n > m вытекает, что xn ≥ xm (xn > xm). Говорим, что последовательность xn не возрастает (убывает), если из того что n > m вытекает, что xn ≤ xm (xn < xm). Не убывающая или не возрастающая последовательность называется монотонной последовательностью. В зависимости от того, будет ли множество A, состоящее из членов последовательности, ограниченным или ограниченным снизу (сверху), назовем последовательность ограниченной или ограниченной снизу (сверху). Таким образом, если последовательность {xn} ограничена, то существует число M: |xn| ≤ M ∀n.
Определение 1. Число a называется пределом последовательности xn при n → ∞, если ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N |xn − a| < ε. Иногда удобно в качестве пределов последовательности рассматривать не только конечные числа, но числа ±∞,∞. Определение 1 годится лишь в случае, если a – конечное число.
Определение 2. Число a ∈ R называется пределом последовательности xn при n → ∞, если для любой окрестности U точки a существует номер N: xn ∈ U при всех n > N, или другими словами, вне любой окрестности точки a содержится конечное или пустое множество членов последовательности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся последовательностью. Если число a – предел последовательности xn, то пишем a = lim n→∞ xn или xn → a при n → ∞. Если a – конечное число, то определения 1 и 2 эквивалентны.
Теорема 1 (о эквивалентности определений предела). Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство. Пусть справедливо определение 1 и U - окрестность точки a. Существует ε-окрестность Uε точки a такая, что Uε ⊂ U. В силу определения 1 найдется номер N: |xn − a| < ε при n > N. Но тогда xn ∈ Uε ⊂ U ∀n > N. Обратно, пусть выполнено определение 2. Возьмем в качестве окрестности U ε-окрестность Uε точки a. По условию найдется номер N: xn ∈ Uε ∀n > N. Но тогда |xn − a| < ε при n > N. Ч.т.д.