5. Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум. Основное свойство супремума и инфимума.

Множество вещественных чисел и его подмножества. Грани множества на числовой прямой. Множество A ⊂ R называется ограниченным сверху, если ∃M ∈ R: x ≤ M ∀x ∈ A. Число M называется при этом верхней гранью множества A.

Определение 1. Наименьшая из всех верхних граней множества A называется точной верхней гранью множества A или супремумом и обозначается через sup A = sup_{x ∈A} x. Множество A ⊂ R называется ограниченным снизу, если ∃m ∈ R: m ≤ x ∀x ∈ A. Число m называется при этом нижней гранью множества A.

Определение 2. Наибольшая из всех нижних граней множества A называется точной нижней гранью множества A или инфимумом и обозначается inf A = inf_x∈A x. Если множество A не ограничено сверху (снизу), по определению полагаем, что supA = +∞, (inf A = −∞). Множество A ⊂ R называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу. Из определений вытекает, что множество A ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором конечном промежутке [m, M].

Теорема 1. (основное свойство супремума и инфимума). Число M является точной верхней (нижней гранью) множества X ⇔ M – верхняя (нижняя) грань X и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε (x < M + ε).

Доказательство. Пусть M = sup X. Если не существует x: x > M − ε, то x ≤ M − ε ∀x ∈ X и тогда (M –ε) – верхняя грань, что противоречит тому, что M – точная верхняя грань. Обратно, пусть M – верхняя грань и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε. Предположим противное, что M не является точной верхней гранью. Тогда найдется верхняя грань M₁ < M. Возьмем ε = M −M₁ и найдем x ∈ X: x > M −ε = M₁. Таким образом, M₁ – не верхняя грань, противоречие. Пусть M = inf X. Из определений вытекает, что число M есть инфимум множества X ⇔ −M – супремум множества −X = {−x: x ∈ X}. Тогда утверждение в случае инфимума вытекает из уже доказанного. Ч.т.д.

Замечание 1. Можно утверждение теоремы 1 взять в качестве эквивалентного определения супремума и инфимума. Важными примерами числовых множеств являются: интервал (a, b), отрезок (промежуток) [a, b] полуинтервалы [a, b), (a, b]. Пусть a ∈ R. Тогда множество (a − ε,a + ε) называется ε-окрестностью точки a. Множество X называется окрестностью точки a ∈ R, если найдется ε-окрестность U точки a: U ⊂ X. Иногда удобно дополнить множество вещественных чисел бесконечными числами +∞,−∞,∞. Множество X называется окрестностью точки +∞, −∞, или ∞, если найдется такое число M > 0, что (M,+∞) ⊂ X, (−∞,M) ⊂ X, или (−∞,M) ∪ (M,+∞) ⊂ X, соответственно. Приведем одно вспомогательное утверждение, которое вытекает непосредственно из определения вещественного числа, и будет использоваться позднее.

Лемма 1 (принцип вложенных отрезков). Пусть [a1,b1] ⊃ [a2,b2] ⊃ [a3,b3] ⊃ ... – последовательность вложенных промежутков. Тогда найдутся числа a, b ∈ R: a ≤ b и ∩^∞ _i=1[a_i,b_i] = [a,b].

6. Числовая последовательность и ее предел. Эквивалентность различных определений предела.

Отображение F: N → R (или F: N → C) называется числовой последовательностью. Величина F(n) обычно обозначается через x_n и называется элементом последовательности. Обычно последовательность с элементами x₁,x₂,x₃,... обозначают через {x_n}. Мы будем рассматривать далее последовательности вещественных чисел, хотя основные утверждения остаются верными и в комплексном случае.

Говорим, что последовательность x_n не убывает (возрастает), если из того что n > m вытекает, что x_n ≥ x_m (x_n > x_m). Говорим, что последовательность x_n не возрастает (убывает), если из того что n > m вытекает, что x_n ≤ x_m (x_n < x_m). Не убывающая или не возрастающая последовательность называется монотонной последовательностью. В зависимости от того, будет ли множество A, состоящее из членов последовательности, ограниченным или ограниченным снизу (сверху), назовем последовательность ограниченной или ограниченной снизу (сверху). Таким образом, если последовательность {x_n} ограничена, то существует число M: |x_n| ≤ M ∀n.

Определение 1. Число a называется пределом последовательности xn при n → ∞, если ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N |x_n − a| < ε. Иногда удобно в качестве пределов последовательности рассматривать не только конечные числа, но числа ±∞,∞. Определение 1 годится лишь в случае, если a – конечное число.

Определение 2. Число a ∈ R называется пределом последовательности x_n при n → ∞, если для любой окрестности U точки a существует номер N: x_n ∈ U при всех n > N, или другими словами, вне любой окрестности точки a содержится конечное или пустое множество членов последовательности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся последовательностью. Если число a – предел последовательности xn, то пишем a = lim n→∞ xn или xn → a при n → ∞. Если a – конечное число, то определения 1 и 2 эквивалентны.

Теорема 1 (о эквивалентности определений предела). Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Пусть справедливо определение 1 и U - окрестность точки a. Существует ε-окрестность Uε точки a такая, что Uε ⊂ U. В силу определения 1 найдется номер N: |x_n − a| < ε при n > N. Но тогда x_n ∈ Uε ⊂ U ∀n > N. Обратно, пусть выполнено определение 2. Возьмем в качестве окрестности U ε-окрестность Uε точки a. По условию найдется номер N: x_n ∈ Uε ∀n > N. Но тогда |x_n − a| < ε при n > N. Ч.т.д.