79. Кривые. Гладкая кривая. Формула длины гладкой кривой.

Рассмотрим пространство Rⁿ. По определению, пространство Rⁿ состоит из наборов чисел x = (x₁,x₂,...,x_n). Пространство Rⁿ является векторным пространством размерности n. Скалярное произведение в Rⁿ определяется равенством

(x,y) = x₁y₁+x₂y₂ + ... +x_ny_n. (3)

n-мерное пространство Rⁿ, где определено скалярное произведение посредством равенства (3), называется n-мерным евклидовым пространством. Расстояние между точками x,y пространства Rⁿ определяется равенством

|x − y| =√((x₁ − y₁)² + (x₂ − y₂)² + ... + (x_n − y_n)²).

Множество точек пространства Rⁿ γ = {x = x(t) = (x₁(t),x₂(t),...,x_n(t)): t ∈ [a,b]}, где x_i(t) – непрерывные функции на [a,b] называется непрерывной кривой (или просто кривой). Говорим, что кривая γ не имеет самопересечений, если x(t₁) ≠ x(t₂) при t₁≠ t₂ за исключением может быть случая t₁=a, t₂ = b. Если x(a)=x(b), то кривая называется замкнутой. Любую кривую γ можно задавать при помощи разных вектор-функций x=x(t), которые называются параметризациями кривой γ. Например, если t=ϕ(τ) непрерывное взаимно-однозначное отображение отрезка [c,d] на [a,b], то кривую γ также можно задать и в виде γ = {x = x(ϕ(τ)): τ ∈ [c,d]}. Непрерывная кривая без самопересечений называется гладкой кривой, если найдется ее параметризация x = x(t) (t ∈ [a,b]) со свойствами: функции x_i(t) непрерывно дифференцируемы на [a,b] и

|x’(t)| =√((x’1(t))² + (x’2(t))² + ... + (x’n(t))²) ≠ 0 ∀t ∈ [a,b].

Параметризация гладкой кривой γ с этими свойствами называется допустимой. Геометрический смысл вектора x’(t) = (x’₁(t),...,x’_n(t)) состоит в том, что он является касательным вектором к γ в данной точке x=x(t). Пусть γ непрерывная кривая и x = x(t) (t ∈ [a,b]) – ее параметризация. Рассмотрим разбиение [a,b] точками a=t₀<t₁<...<t_m = b. Впишем в кривую γ ломаную с вершинами в точках x(t_k). Найдем ее длину

s_m =^m_i=1∑|x(t_i) − x(t_i−1)|.

Если существует конечный предел lim _λ→0 s_m = s, λ = max_i ∆t_i,

то он называется длиной кривой γ, а сама кривая в этом случае называется спрямляемой.