75. Вычисление площади в декартовых координатах.

Пусть A фигура на плоскости ограниченная слева и справа прямыми x=a, x=b, а сверху и снизу графиками интегрируемых на [a,b] функций y=f(x), y=g(x) (f(x)≤ g(x) ∀x∈[a,b]); т.о., A = {(x,y): x ∈ [a,b],f(x)≤ y≤ g(x)}. Тогда площадь этой фигуры выражается равенством S=^bZ_a(g(x)−f(x))dx. Доказательство. Поскольку f,g интегрируемы на [a,b], то они ограничены на [a,b] и, значит, найдется постоянная M > 0 такая, что |f(x)| ≤ M, |g(x)| ≤ M. Тогда функции f(x) + M, g(x) + M неотрицательны. Пусть A₁ = {(x,y): x ∈ [a,b], 0 ≤y≤ f(x)+M} и A₂= {(x,y): x ∈ [a,b], 0≤ y≤ g(x)+M}. Площади фигур A₁, A₂ равны, соответственно, S1 =^bZ_a (f(x) + M)dx, S2 = ^bZ_a (g(x) + M)dx.

Очевидно, что искомая площадь S равна S = S2 − S1 = ^bZ_a (g(x) − f(x))dx. Ч.т.д.

76. Вычисление площади в полярных координатах.

Каждой точке на плоскости с координатами (x,y) можно поставить в соответствие длину радиус-вектора точки ρ=√(x²+y²) и угол ϕ, образованный радиусом-вектором точки с положительным направлением вещественной оси. Можно считать, например, что ϕ ∈ [0,2π]. Расположение точки на плоскости однозначно определяется величинами ρ,ϕ, которые называются полярными координатами точки. Имеем в силу определения, что x = ρcosϕ, y = ρsinϕ. Площадь S фигуры, ограниченной двумя выходящими из полярного полюса точки 0 лучами ϕ=α, ϕ=β (α<β), и кривой Γ, заданной в полярных координатах непрерывной функцией ρ=ρ(ϕ) (ϕ ∈ [α,β]), может быть определена следующим образом. Построим разбиение отрезка [α,β] точками: α = ϕ₀< ϕ₁<...< ϕ_n =β. Элемент площади фигуры, ограниченной кривой Γ и лучами ϕ= ϕ_i−1, ϕ = ϕ_i приближенно равен площади кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса ρ_i=f(ξ_i) ξ_i ∈ [ϕ_i−1,ϕ_i], которая равна ρ²_i∆ϕ_i/2, ∆ϕ_i= ϕ_i − ϕ_i−1. Естественно считать по определению, что

S = lim _λ→0ⁿ_i=1∑ ρ²_i∆ϕ_i/2=1/2* ^βZ_α ρ² (ϕ)dϕ, λ = max_i ∆x_i. (1)

Мы получили формулу площади фигуры в полярных координатах. Для непрерывной функции f(ϕ) интеграл в (1), как мы знаем, существует. Конечно, возникает вопрос, будет ли определенная таким образом величина S равна тому же числу, как если бы мы вычислили площадь нашей фигуры в декартовых координатах. Этот вопрос положительно решается на основании общей теории меры.

77. Вычисление объема тела вращения.

Пусть Γ есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат x,y непрерывной положительной функцией y = f(x), a ≤ x ≤ b. Вычислим объем V тела вращения, ограниченного плоскостями x = a, x = b и поверхностью вращения кривой Γ вокруг оси x. Производим разбиение отрезка [a,b] на части точками a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b и считаем, что элемент объема ∆V_i тела, ограниченный плоскостями x = x_i−1, x=x_i , приближенно равен объему цилиндра высоты ∆xi и радиуса yk = f(ξ_i), где ξ_i ∈ [x_i−1,x_i], таким образом, ∆V_i = πy²_i ∆x_i.

Тогда естественно положить

V = lim _λ→0ⁿ_i=1∑πf²(ξi)δxi = π* ^bZ_a f²(x)dx, λ = max_i ∆x_i.

78. Вычисление площади боковой поверхности тела вращения.

Пусть Γ есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат x,y положительной функцией y = f(x), a ≤ x ≤ b, имеющей на [a,b] непрерывную производную. Вычислим площадь S поверхности вращения Γ вокруг оси x. Для этого произведем разбиение [a,b]: a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b, впишем в кривую Γ ломаную Γ_n с вершинами (x_i,f(x_i)) и вычислим площадь поверхности вращения последней вокруг оси x:

S_n = π ⁿ_i=1∑ (f(x_i−1) + f(x_i)) *√((∆x_i)² + (f(x_i−1) − f(x_i))²)

и перейдем к пределу при λ = max_i ∆x_i→0. Найдем предел. Имеем по теореме Лагранжа, что f(x_i) − f(x_i−1) = f’(ξ_i)∆x_i, ξ_i ∈ [x_i−1,x_i]. Тогда сумму S_n можно переписать в виде

Sn = 2π ⁿ_i=1∑ f(ξ_i) √((1 + (f’(ξ_i))²)∆x_i+2π* ⁿ_i=1∑ (f(x_i−1)+f(x_i)−2f(ξ_i))*√((1 + (f’(ξ_i))²)∆x_i (2).

Первое слагаемое в этой сумме при λ → 0 стремится к интегралу

S = 2π*^bZ_af(x√((1 + (f’(ξ_i))²)dx

а второе слагаемое стремится к нулю. Действительно, пусть M = sup _x∈[a,b] √((1 + (f’(ξ_i))²). В силу равномерной непрерывности f(x) на [a,b] для данного ε > 0 можем найти δ > 0 такое, что при |x−y| < δ, x,y ∈ [a,b], выполнено |f(x) − f(y)| < ε/(4π(b − a)M). Тогда второе слагаемое в (2) оценится при λ < δ так:

|2π ⁿ_i=1∑ (f(x_i−1) + f(x_i) − 2f(ξ_i)) √((1 + (f’(ξ_i))²)∆x_i| < 2πM* ⁿ_i=1∑ 2ε/(4π(b − a)M)*∆xi = ε

Т.о., ∃ lim _λ→0 S_n = S = 2π ^bZ_a f(x)*√((1 + (f’(ξ_i))²)dx.

По определению, полученная величина и есть площадь боковой поверхности тела вращения.