65. Интегрируемость непрерывной функции.

Теорема 4. Если функция f непрерывна на [a,b], то она интегрируема на [a,b].

Доказательство. Пусть f непрерывна на [a,b]. По теореме Кантора она равномерно непрерывна на [a,b]. Возьмем ε>0 и найдем δ>0 такое, что при |x−y|<δ выполнено, что |f(x)−f(y)|< ε/(b−a). Возьмем произвольное разбиение τ с λ < δ. По 2-й теореме Вейерштрасса найдутся точки ξ_i,η_i ∈ [x_i−1,x_i] такие, что f(ξ_i)=M_i, f(η_i)=m_i. Тогда

S − s=ⁿ_i=1∑(f(ξ_i) − f(η_i)∆x_i ≤ ε* ⁿ_i=1∑∆x_i/(b − a) = ε.

Таким образом, lim_λ→0(S − s) = 0. По теореме 2 функция f интегрируема.

Теорема 5. Если функция f монотонна на [a,b], то она интегрируема на [a,b].

Доказательство. Пусть, например, f не убывает. Возьмем ε > 0 и δ < ε/(f(b)−f(a)). Пусть τ – разбиение отрезка c λ < δ точками {x_i}ⁿ_i=0. Тогда M_i = f(x_i), m_i = f(x_i−1) и

S−s= ⁿ_i=1∑(f(x_i) − f(x_i−1))∆x_i ≤ δ*ⁿ_i=1∑ (f(x_i) − f(x_i−1))=δ(f(b)−f(a))< ε. По теореме 2 f интегрируема.

66. Аддитивные свойства интеграла и следствия.

Теорема 6. Пусть c ∈ (a,b). Тогда f интегрируема на [a,b] ⇔ f интегрируема на [a,c] и [c,b]. Если f интегрируема на [a,b], то

^bZ_af(x)dx =^сZ_af(x)dx +^bZ_с (x)dx. (3)

Доказательство. Пусть интеграл от f на [a,b] существует. Возьмем ε > 0. Найдется (по теореме 2) δ > 0 такое, что для любого разбиения τ c λ < δ выполнено S − s < ε. Возьмем два разбиения τ1 и τ2 отрезков [a,c] и [c,b] такие, что соответствующие λi < δ. Обозначим также через s_i,S_i (i =1,2) соответствующие суммы Дарбу. Возьмем τ = τ₁∪τ₂. Тогда имеем, что (S1 − s1) + (S2 − s2) = S−s <ε. Из этого неравенства вытекает, что при λ_i <δ, S_i−s_i < ε (i=1,2). Т.о., ∃lim_λi→0(S_i−s_i)=0 (i=1,2). По теореме 2 f интегрируема на [a,c] и [c,b]. Пусть теперь f интегрируема на [a,c] и [c,b]. Покажем, что она интегрируема на [a,b]. Воспользуемся теоремой 3. Фиксируем ε > 0. Найдем разбиения τ₁,τ₂ отрезков [a,c] и [c,b] такое, что для соответствующих сумм Дарбу мы имеем S₂−s₂<ε/2, S1−s1< ε/2. Тогда для разбиения τ = τ1 ∪ τ2 отрезка [a,b] имеем, что

S − s = (S1 − s1) + (S2 − s2) < ε.

Т.о. по данному ε > 0 можем найти разбиение τ, для которого S − s < ε. По теореме 3 функция f интегрируема на [a,b]. Покажем последнее утверждение теоремы. Пусть f интегрируема на [a,b]. По доказанному она интегрируема на [a,c] и [c,b]. Пусть τ1,τ2 два произвольных разбиения [a,c] и [c,b] и τ = τ1 ∪τ2. Выберем точки на каждом из промежутков разбиений и составим интегральные суммы σ1, σ2. Имеем равенство σ = σ1 + σ2, где σ – интегральная сумма, отвечающая разбиению τ. Переходя в этом равенстве к пределу при λ1,λ2 → 0, получим (3).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b] за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, то f интегрируема на [a,b]

Доказательство. Пусть a ≤ x₁ < x₂ < ...,x_n ≤ b – искомые точки разрыва. Рассмотрим функцию f на промежутке [x_i−1,x_i]. Из определения интеграла, видно, что меняя значение функции в одной точке, мы не меняем интеграла и свойства интегрируемости. Доопределяя функцию f в крайних точках промежутка, если необходимо, получим непрерывную и значит интегрируемую функцию на промежутке [x_i−1,x_i]. Тогда и искомая функция интегрируема на каждом из промежутков [x_i−1,x_i]. По теореме 6 получим, что f интегрируема на всем [a,b]. Естественно положить, что

^aZ_af(x)dx = 0.

Если c < d, по определению полагаем, что

^cZ_df(x)dx = −^cZ_df(x)dx.

Следствие 3. Если f интегрируема на [a,c] и [c,b], то f интегрируема на [a,b] и

^bZ_af(x)dx =^сZ_af(x)dx +^bZ_с (x)dx

Доказательство. Случай c ∈ (a,b) мы уже рассмотрели в теореме 6. Случай c = a или c = b очевиден. Пусть, например, c > b. Тогда по теореме 6.

^cZ_af(x)dx =^bZ_af(x)dx +^cZ_b (x)dx

Отсюда получим, что Z b

^bZ_af(x)dx = ^сZ_af(x)dx - ^сZ_bf(x)dx =^сZ_af(x)dx +^bZ_с (x)dx

Аналогично рассматриваем случай c < a. Ч.т.д.