60. Разбиения. Определенный интеграл Римана.

Определение интеграла (Б.Ф. Риман (1826-1866) -выдающийся немецкий математик). Зададим на отрезке [a, b] (a,b – конечные числа, a < b) неотрицательную функцию f(x). Построим разбиение τ отрезка [a,b] на n частей точками a = x₀< x₁ <...< x_n = b, выберем на каждом из полученных отрезков [x_i−1,x_i] (i = 1,2,...,n), по произвольной точке ξ_i ∈ [x_i,x_i+1], определим значения f(ξ_i) функции в этих точках и составим сумму

σ=ⁿ_i=1∑f(ξ_i)∆x_i, ∆i = x_i − x_i−1.

Ее называют интегральной суммой (Римана) функции f на отрезке [a,b], соответствующей разбиению τ. Положим λ = min1≤i≤n ∆x_i.

Определение 1. Если существует конечный предел при λ→0 величины σ, не зависящий от выбора точек разбиения x_i и точек ξ_i, то он называется интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается ^bZ_a f(x)dx, а сама функция f(x) в этом случае называется интегрируемой функцией на [a,b]. Таким образом, ^bZ_a f(x)dx = lim_λ→0σ = lim_λ→0ⁿ_i=1∑f(ξ_i)∆x_i.

т.о., функция интегрируема и интеграл равен числу I, если ∀ε > 0 ∃δ > 0: при λ < δ |σ−I|< ε.

61. Геометрический смысл интеграла.

Зададим на отрезке [a,b] (a,b – конечные числа, a < b) неотрицательную функцию f(x). Поставим задачу: требуется разумно определить понятие площади фигуры Q, ограниченной кривой y=f(x), осью Ox, прямыми x=a и x=b и вычислить эту площадь. Поставленную задачу естественно решить так. Произведем разбиение отрезка [a,b] на n частей точками a=x₀<x₁<...< x_n=b, выберем на каждом из полученных отрезков [x_i−1,x_i] (i = 1,2,...,n), по произвольной точке ξ_i ∈ [x_i,x_i+1], определим значения f(ξ_i) функции в этих точках и составим сумму

σ =ⁿ_i=1∑f(ξ_i)∆x_i, ∆i = x_i − x_i−1.

Каждое из слагаемых – площадь прямоугольника с основанием [x_i−1,x_i] и высотой f(ξ_i). Вся сумма в целом выражает приближенное значение площади фигуры Q. Положим λ = min_1≤i≤n ∆x_i. Если существует предел при λ→0 величины σ, не зависящий от выбора точек разбиения x_i и точек ξ_i, то он и называется площадью фигуры Q. Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной фигуры. Возникает вопрос, имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе говоря, стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма σ, когда λ→0? В дальнейшем будет доказано, что этот вопрос часто решается положительно: каждая определенная выше криволинейная фигура, соответствующая некоторой непрерывной функции f(x), имеет площадь. Геометрический смысл интеграла от неотрицательной функции состоит в том, что он представляет из себя площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции.

62. Необходимое условие интегрируемости.

Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости) Если функция f интегрируема на [a,b], то она ограничена на [a,b].

Доказательство. В самом деле, пусть f неограниченна на [a,b] и σ=ⁿ_i=1∑f(ξ_i)∆x_i – ее интегральная сумма, соответствующая произвольному разбиению τ. Так как f неограниченна на [a,b], то она неограниченна по крайней мере на одном из отрезков [x_i−1,x_i] разбиения, пусть на [x₀,x₁]. Пусть σ’=ⁿ_i=2∑f(ξ_i)∆x_i. Фиксируем M > 0. В силе неограниченности найдется точка ξ₁∈[x_i−1,x_i] такая, что

|f(ξ₁)| > (M + |σ’|)/∆x₁

Тогда

|σ| ≥ |f(ξ₁)|∆x₁ − |σ’| ≥ M.

Т. о. для любого разбиения τ и любого M можем найти точки ξi [x_i−1,x_i] такие, что |σ| ≥ M. Это противоречит тому, что σ имеет конечный предел при λ → 0.