58. Интегрирование элементарных дробей.

Функции вида A/(x − λ)^p , (Ax + B)/(x² + 2px + q)^p (A,B – постоянные) называются элементарными дробями.

(I) I =Z(A/(x−λ))dx. Имеем, что

I = A*Z(1/(x − λ))dx = A*ln|x − λ| + C.

Здесь сделав замену x−a=t, dx=dt, мы придем к табличному интегралу Z (1/t)dt.

(II) I =Z (A/(x−λ)^k)dx. Сделав замену x−a=t, dx=dt, имеем

I =Z(A/(x − λ)^k)dx = A*Z(1/t^k)dt =At^1−k/(1 – k)+ c =A(x − λ)^1−k/(1 – k)+ c.

(III) I =Z((Ax+B)/(x²+2px+q))dx (p² − q < 0). Вначале выделим полный квадрат в знаменателе.

Имеем I =Z((Ax+B)/((x+p)²+q−p²))dx. Сделаем замену переменных x+p=t и положим a²=q−p². Получим интеграл

I =Z(A(t − p) + B)/(t² + a²)dx = A*Z(t/(t² + a²))dt +(B − pA)*Z(1/(t² + a²))dt.

Второй из этих интегралов находится по таблице интегралов, а в первом делая замену t²+a² =v, dv =2tdt, получим

I = A/2*Z(1/v) dv + (B−pA)/a*arctg t/a + c = (A*ln(t²+a²))/2 + (B−pA)/a*arctg t/a+ c=(A*ln((x+p)²+a²) )/2 + (B−pA)/a*arctg (x+p)/a + c.

(IV) I =Z((Ax+B)/(x²+2px+q)^k)dx, p² − q< 0, k > 1. Этот интеграл при k=1 мы уже нашли. Чтобы найти интеграл для произвольного k, мы найдем реккурентное соотношение для его вычисления. Как и в пункте (III), после замены t = x + p получим интеграл

I = A*Z(t/(t² + a²)^k)dt + (B − pA)*Z(1/(t² + a²)^k)dt =AI_k + (B − pA)J_k.

Чтобы найти первый интеграл, сделаем замену t² + a² =v. Получим dv = 2tdt и

I_k =1/2*Z(1/v^k)dv =v^1−k/(2(1 − k))+ c =(t² + a²)^1−k/(2(1 − k))+ c =((x + p)² + a²)^1−k/(2(1 − k))+ c.

Имеем

J_k =Z(1/(t² + a²)^k)dt =1/a²*Z((a² + t² − t²)/(t² + a²)k)dt =1/a²*Z(1/(t² + a²)^k−1)dt −1/a²*Z(t²/(t² + a²)^k)dt=1/a²J_k−1 −1/a²*Z(t*t/(t² + a²)^k)dt =1/a²*J_k−1−1/a²*Z(t*(t² + a²)^1−k/(1 – k))dt =1/a²*J_k−1−t*(t² + a²)^1−k/(a²(1 − k))+1/(a²(1 − k))*Z(1/(t² + a²)^k−1)dt=(2 – k)/(a²(1 − k))*J_k−1 –(t(t² + a²)^1−k)/(a²(1 − k)).

Т.о. окончательное равенство выглядит так.

J_k =(2 – k)/(a²(1 − k))*J_k−1 –(t(t² + a²)^1−k)/(a²(1 − k)).

Выражая интеграл J_k через предыдущий J_k−1 в конце концов мы дойдем до интеграла J₁, который является табличным. После нахождения величин J_k, I_k найдем и исходный интеграл.

59. Нахождение интегралов, сводящимся к интегралам от рациональных функций.

1) Пусть R – рациональная функция от двух переменных x и ξ =(ax+b)/(cx+d)^(1/m). Тогда интеграл

I =Z (R(x, (ax+b)/(cx+d)^(1/m))) dx

может быть сведен к интегралу от рациональной функции с помощью замены переменных t=(ax+b)/(cx+d)^(1/m). В самом деле

t^m =(ax + b)/(cx + d)⇒ x=(b−dt^m)/(ct^m – a), dx=((mt^m−1*(ad − bc))/(ct^m − a)²)dt,

и тогда

I =Z(R((b−dt^m)/(ct^m – a), t)(mt^m−1*(ad − bc))/(ct^m − a)²)dx

2) Пусть R – рациональная функция от двух переменных x и ξ =√(ax² + bx + c).

a) Пусть многочлен ax² + bx + c (a≠ 0) имеет вещественные корни x₁, x₂ и x₁ ≠ x₂. Тогда √(ax²+bx+c) =√(a(x − x1)(x − x2))=|x − x1|*√(a(x − x2)/(x−x1)). После такого представления получим интеграл из пункта 1). Если x1=x2, то √(ax2 + bx + c)=√(a|x − x1|) и функция R(x,√(ax2+bx+c)) рациональна.

b) Пусть трехчлен (ax² + bx + c) не имеет вещественных корней и a > 0. В этом случае используется первая подстановка Эйлера

t =√(ax² + bx + c) ± x√(a). Если же a < 0, а c > 0, то используется вторая подстановка Эйлера √(ax²+bx+c)=xt±√(c).

3) Интеграл I=Z(R(sinx, cosx))dx(R – рациональная функция двух переменных) сводится к интегралу от рациональной функции при помощи замены

t =tg x/2, dx=(2/(1 + t²))dt, sinx=2t/(1 + t²), cosx=(1 − t²)/(1 + t²).

В некоторых случаях выгоднее делать замену t = tgx. Однако, эта замена не всегда приводит к интегралу от рациональной функции.

4) Интегралы Z( R(x,√(a² − x²)))dx, Z(R(x,√(a² + x²)))dx, Z(R(x,√(x² − a²)))dx (R – рациональная функция двух переменных) сводятся к интегралу из пункта 3) с помощью соответствующих замен x=a sin t, x=a tg t, x=a/cost.