53. Неопределенный интеграл. Следствия из определения.

Свойства неопределенного интеграла:

1)(Zf(x)dx)’= f(x), d(Zf(x)dx)= f(x)dx.

Утверждение вытекает из определения. Эти равенства выполнены в следующем смысле. Производные (дифференциалы) от любой из функций входящих в класс R f(x)dx существуют и они равны f(x) (f(x)dx).

2) Z F’(x)dx = Z dF = F(x) + c.

Это свойство также следствие определения.

3) Z (λf(x) + µg(x))dx = λ Z f(x)dx + µ Zg(x)dx ∀λ,µ ∈ R.

Доказательство. Для первообразных имеем равенство (λF1 + µF2)’ = λF’1 + µF’2 = λf(x) + µg(x). В силу свойства 2 имеем

Z (λf(x) + µg(x))dx = Z (λF’1 + µF’2)dx = Z (λF1 + µF2)’dx = λF1 + µF2 + C = λ Zf(x)dx + µZg(x)dx.

54. Таблица интегралов.

Таблица интегралов

1.Z sinx dx = −cosx + c, Z cosx dx = sinx + c;

2.Z x^α dx =x^α+1/(α + 1)+ c (α ≠ −1), Z1/x dx = ln|x| + c;

3.Z a^x dx =a^x lna+ c; Z e^x dx = e^x (a > 0);

4.Z 1/(x² + a²)dx =1/a arctg |x/a|+ c, a > 0;

5.Z 1/(x² − a²) dx =1/(2a)ln |(x – a)/(x + a)|+ c, a > 0;

6.Z 1/√(x² + a)dx = ln |x +√(x² + a)| + c;

7.Z 1/cos² x dx = tgx + c;

8.Z 1/sin² x dx = −ctgx + c;

9.Z 1/√(a² − x²)dx = arcsin x/a+ c.

55. Линейность операции интегрирования.

56. Метод интегрирования по частям, замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема 3. Пусть функции u(x),v(x) определены и дифференцируемы на некотором интервале (c,d) (или промежутке [c,d]) и пусть функция u’(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда, функция u(x)v’(x) имеет на (c,d) ([c,d]) первообразную и справедливо равенство Z u’(x)v(x)dx = u(x)v(x) − Z u(x)v’(x)dx. (1)

Равенство (1) может быть также записано в виде Z v(x)du = u(x)v(x) − Z

u(x)dv.

Доказательство. Имеем (uv)’ = u’v + uv’. Поскольку функции (uv)’ имеет первообразную uv, то из этого равенства вытекает, что и функция uv’ = (uv)’ – u’v имеет первообразную и справедливо равенство (1). Ч.т.д.

57. Теорема о разложении рациональной функции на элементарные дроби (без доказательства).

Теорема о разложении рациональной функции. Функции вида P(x)/Q(x), где P,Q многочлены называется рациональной. Символом degP обозначаем степень многочлена P. Если degP > degQ, то выполнив деление с остатком, получим, что P/Q = W(x) + R/Q ,

г де degR < degQ и W(x) – многочлен. Таким образом, поскольку интеграл от многочлена находится легко, то основная трудность при нахождении интеграла от рациональной функции – это нахождение интеграла вида Z(R(x)/Q(x))dx. Пусть Q(x)=a_mx^m+a_m−1x^m−1+...,a₀, λ_i (i = 1,2,...,k) – вещественные корни многочлена Q и β_i,β_i (i = 1,2,...,r) – комплексные корни Q. Положим (x−β_i)(x−β_i)=x²+2p_ix+q_i и обозначим через r_i,s_i кратности корней λ_i,β_i. Тогда многочлен Q можно записать в виде Q(x)=am(x−λ₁)^r1(x−λ₂)^r2···(x−λk)^rk(x²+2p₁x+q₁)^s1(x²+2p₂x+q₂)^s2 ···(x²+2p_rx+q_r)^sr

Справедлива следующая

Теорема 1. Рациональная функция R(x)/Q(x) (degR < degQ) представима в виде

R(x)/Q(x)=^k_i=1∑^ri_p=1∑c_ip/(x − λ_s)^p+ ^s_i=1∑^si_p=1∑(A_ipx + B_ip)/(x² + 2p_px + q_p)^p, (1)

где c_ip,A_ip,B_ip – некоторые постоянные.

Доказательство.

1) Пусть degQ=m. Пусть a – вещественный корень многочлена Q кратности k, т.е. Q(x)=(x−a)^kN(x). Возьмем A=R(a)/N(a), M(x)=(R(x)−AN(x))/(x− a). Поскольку числитель здесь обращается в ноль, то функция M(x) многочлен и degM ≤ (m – 2). Легко увидеть, что R(x)/Q(x)=A/(x − a)^k + M(x)/(x − a)^k−1N(x) ∀x.

2 ) Пусть a,a комплексные корни Q кратности k и (x − a)(x − a) = x² + 2px + q. Тогда Q(x) = (x² + 2px + q)^kN(x) и degN=m − 2k. Покажем, что найдутся многочлен M(x) с degM ≤ 2m − 3 и постоянные A,B такие, что

R(x)/Q(x)=(Ax + B)/(x² + 2px + q)^k + M(x)/((x² + 2px + q)^k−1N(x)).

Действительно, ищем постоянные A,B как решение системы

A a + B = R(a)/N(a), Aa + B = R(a)/N(a). (2)

Определитель этой системы

|a 1|

| a 1| = a – a≠ 0. Решение этой системы вещественно. Действительно, возьмем комплексное сопряжение от уравнений (2). Получим

A a + B = R(a)/N(a), Aa + B = R(a)/N(a). (3)

Т аким образом, числа A,B есть также решения системы (2). В силу единственности решений A = A, B = B. Положим

M(x) = (R(x) − N(x)(Ax + B))/(x² + 2px + q).

П о построению числитель делится на x−a и x−a, значит и на (x−a)(x−a) = x²+2px+q.

3) Получим искомое разложение. Рассмотрим корень λ1. По доказанному в пункте 1) найдется найдётся постоянная A_r1 и многочлен M₁, degM₁ ≤ m − 2, такие, что

R(x) Q(x)=A_r1/(x − λ₁)^r1+M₁(x)/((x − λ₁)^r1−1N(x)).

Опять по доказанному в пункте 1 получим, что

M₁(x)/((x − λ₁)^r1−1N(x))=A_r1−1/(x − λ₁)^r1−1+M₂/((x − λ₁)^r1−2N(x)).

Повторяя рассуждения, получим разложение

R(x)/Q(x)=^r1_i=1∑A_i/(x − λ₁)ⁱ+M₀/N(x).

Далее представим N в виде N = (x−λ₂)^r1N₁ и повторим рассуждения. Повторяя рассуждения с каждым вещественным корнем придем к разложению

R(x)/Q(x)=^k_i=1∑^ri_p=1∑c_ip/(x − λ_s)^p+M₀/N₀(x),

где многочлен N₀ не имеет вещественных корней, а его комплексные корни совпадают с корнями Q. Далее, совершенно аналогично строим разложение M₀/N₀(x) используя пункт 2). Ч.т.д.