50. Асимптоты.

Теорема 6. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности +∞ (или −∞). Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f(x) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

lim _x→+∞ f(x)/x = k, lim _x→+∞ (f(x) − xk) = b ( lim _x→−∞ f(x)/x = k, lim _x→−∞ (f(x) − xk) = b).

Доказательство. Пусть прямая y = kx+b – наклонная асимптота. Тогда f(x)−(kx+ b) = ε(x) → 0 при x → +∞ (x → −∞). Из этого равенства вытекает, что

f(x)/x= k +b/x+ε(x)/x→ k, f(x) − kx = b + ε(x) → b

при x → +∞ (x → −∞). Обратно, пусть

f(x)/x→ k, f(x) − kx → b

при x → +∞ (x → −∞). Тогда

f(x) − kx − b = ε(x) → 0

при x → +∞ (x → −∞) и, следовательно, выполнено утверждение теоремы. Ч.т.д.

51. Полное исследование и построение графика.

Схема построения графика функции. Чтобы построить график функции y = f(x), желательно провести следующие рассуждения.

1. Найти область определения D(f) функции y = f(x), исследовать ее на четность, нечетность, периодичность. По возможности найти область значений функции f(x).

2. Найти точки x₁,x₂,...,x_n, где сама функция непрерывна, а ее производная не существует или равна нулю (такие точки называются критическими точками функции). Вычислить значения f(x) в этих точках и определить не являются ли они точками локального максимума, или локального минимума. Найти интервалы знакопостоянства производной f’(x), т.е. интервалы, где f’(x) ≥ 0 или f’(x) ≤ 0. На каждом из таких интервалов функция не убывает или соответственно не возрастает.

3. Найти (если они есть) вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты. Для определения наклонных асимптот используется теорема 6. Найти lim_x→±∞ f(x). Если x = x₀ – вертикальная асимптота, то найти lim_x→x0±0 f(x).

4. Найти f’’(x), точки, где f’’(x) = 0, и интервалы знакопостоянства второй производной. На каждом из таких интервалов кривая y = f(x) выпукла кверху или книзу. Найти точки перегиба функции и значения функции в точках перегиба. На основе этих сведений желательно составить таблицу, куда занести значения функции в точках экстремумов, в точках перегиба, интервалы знакопостоянства производной и второй производной. и другую найденную информацию. На основании этой таблицы строится график.

52. Первообразная и ее свойства. Буква z дальше будет обозначать знак интеграла!

Пусть на интервале (a,b) (промежутке [a,b]) задана функция f(x). По определению функция F называется первообразной функцией для f(x) на интервале (a,b) (промежутке [a,b]) если F дифференцируема на нем и F0(x) = f(x) для всех x ∈ (a,b) (x ∈ [a,b], в крайних точках под производной понимаем производную слева или справа соответствен- но).

1) Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале.

Док-во: F’(x)=(f(x)+C)’=f(x).

2) Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция. Док-во: Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то F’(x)=F1’(x)=f(x), ⇒ (F1(x)-F(x))’=0, ⇒ (F1(x)-F(x))’=C=const, ⇒ F1(x)=F(x)+C.

3) Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx. Из этих свойств следует, что если F(x) – некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.