49. Выпуклость кривой (графика функции), достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.

Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на [a,b] ( (a,b)) и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая y = f(x) была выпуклой кверху (книзу) на [a,b] ((a,b)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство f’’(x) ≤ 0 (f’’(x) ≥ 0) для всех x ∈ (a,b).

Доказательство. Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых x и h > 0 таких, что x,x+2h ∈ [a,b], имеет место неравенство f(x+h) ≥ (f(x)+f(x+2h))/2, откуда f(x + h) − f(x) ≥ f(x + 2h) − f(x + h). Если теперь x1 и x2 - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = (x2 − x1)/n, будем иметь

f(x₁+h)−f(x₁) ≥ f(x1+2h)−f(x₁+h) ≥ ... ≥ f(x₁+nh)−f(x₁+(n−1)h) = f(x₂)−f(x₂−h).

Таким образом, (f(x₁ + h) − f(x₁))/h ≥ (f(x₂) − f(x2 − h))/h. Переходя к пределу при h → 0, получим неравенство f’(x₁) ≥ f’(x₂), показывающее, что производная f’(x) на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда f’’(x) ≤ 0 на (a,b). Обратно, пусть f’’(x) ≤ 0 и a < x₁ < x₂ < b. Нам нужно доказать, что функция F(x) = f(x) − f(x₁) − m(x − x₁), где m = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x1), удовлетворяет неравенству F(x) ≥ 0 на [x1,x2]. Допустим, что это не так. Тогда найдется точка x0 ∈ (x1,x2) : F(x₀) = inf x∈[x1,x2] F(x) < 0. x₀ – экстремум и тогда F’(x₀) = 0. Применив формулу Тейлора, получим

0 = F(x₂) = F(x₀) +F’’(x0 + θ(x₂ − x₀))(x₂ − x₀)²/2!= F(x₀) +f’’(x₀ + θ(x₂ − x₀))(x₂ − x₀)²/2!.

Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию. Доказательство в случае f’’(x) ≥ 0 аналогично.

Замечание 1. Используя формулу Тейлора, легко увидеть, что условие f’’(x) ≥ 0 (f’’(x) ≤ 0) на (a,b) также эквивалентно условию: график функции y = f(x) лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику на (a,b). Это условие часто берется в качестве определения выпуклости. В частности, из условия неотрицательности (неположительности) производной f’’ на (a,b) и формулы Тейлора f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x−x₀)+f’’(x₀+θ(x−x₀))(x−x₀)²)/2! сразу вытекает, что f(x)−(f(x₀)+f’(x₀)(x−x₀)) ≥ 0 (f(x)−(f(x₀)+f’(x₀)(x−x₀)) ≤ 0), т.е. график функции лежит не не ниже (не выше) любой касательной к графику. Точка x₀ называется точкой перегиба кривой y = f(x), если по разные стороны от точки x₀ кривая имеет разные направления выпуклости, т.е. существует δ > 0 такое, что на (x₀−δ,x₀) кривая выпукла книзу (или кверху), а на (x₀,x₀+δ) кривая выпукла кверху (или соответственно книзу).

Теорема 5. Пусть f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности x₀. Тогда существует δ > 0 : f’’(x) ≤ 0 (или f’’(x) ≥ 0) на (x₀ − δ,x₀) и f’’(x) ≥ 0 (или f’’(x) ≤ 0) на (x₀,x₀ +δ) тогда и только тогда, когда x₀ – точка перегиба кривой y = f(x). Если x₀ – точка перегиба и производная f’’(x) непрерывна в точке x₀, то f’’(x₀) = 0.

Доказательство. Первая половина утверждения есть следствие из теоремы 4. Пусть x₀ – точка перегиба. В силу непрерывности f’’(x) в точке x0, ∃limx→x0±0 f’’(x) = f’’(x0). Однако, в силу теоремы 4 односторонние пределы имеют разные знаки. Отсюда вытекает, что f’’(x0) = 0. Ч.т.д. Пусть задана кривая, определяемая уравнением y = f(x). Прямая y = kx+b называется наклонной асимптотой кривой y = f(x) при x → +∞, если ∃ lim _x→+∞(f(x) − (kx + b)) = 0.

Аналогично, прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой кривой y = f(x) при x → −∞, если ∃ lim x→−∞ (f(x) − (kx + b)) = 0. Если k = 0, то наклонная асимптота называется горизонтальной асимптотой. Если ∃lim_x→x0−0 f(x) = ∞ или ∃lim_x→x0+0 f(x) = ∞, то прямая x = x₀ называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x).