45. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

При помощи формулы Тейлора (Б. Тейлор (1685-1731) -английский математик) можно по данным значениям f(a),f’(a),...,f⁽ⁿ⁾(a) функции f(x) и ее производных в точке a построить приближение функции f(x) в некоторой окрестности точки a. Средством приближения являются специально строящиеся по указанным значениям многочлены, называемые многочленами Тейлора данной функции. Они имеют вид P_n(x) = f(a) + f’(a)(x − a) + f’’(a)(x−a)2/2! + f’’’(a)(x−a)3/3! + ... + f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)(x−a)n−1/(n−1)! ….

В некоторой окрестности точки a запишем представление

f(x) = P_n(x) + R_n(x), R_n(x) = f(x) − P_n(x)

Теорема 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция f непрерывна в некоторой ε-окрестности U точки a и имеет в этой окрестности все производные до порядка n включительно. Тогда для любой точки x ∈ U найдется точка ξ, лежащая между a и x такая, что

f(x) = P_n(x) + R_n(x), R_n(x) =f⁽ⁿ⁾(ξ)(x − a)ⁿ/n!. (1)

Функция R_n(x) в этом представлении называется остаточным членом в форме Лагранжа, а само представление (1) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Фиксируем x ∈ U. Рассмотрим функции ψ(x) = f(x)−P_n(x), ϕ(x) = (x−a)ⁿ/n! . Легко увидеть, что ψ(x) имеет в U все производные до порядка n включительно и справедливо равенство

(ψ^(s)(x) = f^(s)(x) –(ⁿ⁻¹ _k=sСумма) f ^(s)(a)(x − a)^n−s/(n − s)!, s = 0,1,...,n − 1. (2))

При s = n имеем, что ψ⁽ⁿ⁾(x) = f⁽ⁿ⁾(x). Полагая в (2), что x = a, получим, что

ψ^(s)(a) = 0, s = 0,1,...,n − 1. (3)

Применяя последовательно теорему Коши (во второй формулировке), получим, что существуют точки ξ1,ξ2,...,ξn лежащие между a и x такие, что

ψ(x)/ϕ(x)=(ψ(x)−ψ(a))/(ϕ(x)−ϕ(a))=ψ’(ξ1)/ϕ’(ξ1)=(ψ’(ξ1)−ψ’(a))/(ϕ’(ξ1)−ϕ’(a))=ψ’’(ξ2)/ϕ’’(ξ2)=...=ψ⁽ⁿ⁻¹⁾(ξn−1)/ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾(ξn−1) =(ψ⁽ⁿ⁻¹⁾(ξn−1)−ψ⁽ⁿ⁻¹⁾(a))/(ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾(ξn−1)−ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾(a))=ψ⁽ⁿ⁾(ξ_n)/ϕ⁽ⁿ⁾(ξ_n)

Из этого представления получим, поскольку ϕ⁽ⁿ⁾(x) ≡ 1, что

ψ(x) = ϕ(x)f⁽ⁿ⁾(ξ_n) =f⁽ⁿ⁾(ξ)(x − a)ⁿ/n!, ξ = ξ_n.

Это равенство как раз и есть нужное нам представление.

Следствие. Пусть условия теоремы 1 выполнены. Поскольку точка ξ лежит между a и x, то найдется число θ ∈ (0,1) такое, что ξ = a + θ(x − a). Тогда остаточный член R_n(x) можно записать в виде

(f⁽ⁿ⁾(a + θ(x − a))(x − a)ⁿ)/n!, θ ∈ (0,1).

46. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Теорема 2 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (Д. Пеано (1852- 1932) -итальянский математик)). Пусть функция f непрерывна в некоторой ε-окрестности U точки a и имеет в этой окрестности все производные до порядка n включительно, причем производная f⁽ⁿ⁾(x) непрерывна в точке a. Тогда в этой окрестности справедливо представление f(x) = P_n+1(x) + o((x − a)ⁿ), (4) где выражение o((x − a)ⁿ) – некоторая функция такая, что o((x − a)ⁿ)/(x − a)ⁿ → 0 при x → a. Функция o((x−a)ⁿ) в этом представлении называется остаточным членом в форме Пеано, а само представление (4) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Доказательство. Воспользовавшись теоремой 1, для каждого x ∈ U найдем точку ξ = ξ(x), лежащую между x и a такую, что

f(x) = P_n(x) + R_n(x), R_n(x) =f⁽ⁿ⁾(ξ)(x − a)ⁿ/n!. (5)

Можем переписать это равенство в виде

f(x) = P_n+1(x) + φ(x), φ(x) =((f(n)(ξ) − f(n)(a))(x − a)ⁿ)/n!.

Поскольку f⁽ⁿ⁾(x) непрерывна в точке a, то при x → a (f(n)(ξ) − f(n)(a)) → 0. Таким образом, φ(x)/(x − a)ⁿ = (f(n)(ξ) − f(n)(a))/n! → 0 при x → a или другими словами φ(x) = o((x − a)n). Ч.т.д. Если в теореме 1 или в теореме 2 a = 0, то формулу Тейлора в этом частном случае часто называют формулой Маклорена. Приведем разложения Тейлора для некоторых элементарных функций. 1. Функция y = e^x, a = 0. Для этой функции f(n)(x) = e^x и f(n)(0) = 1 для всех n = 0,1,....

e^x = 1 + x +x²/2+ ... +xⁿ⁻¹/(n − 1)!+ R_n(x) =(ⁿ⁻¹ _k=0Сумма)x^k/k!+ R_n(x), R_n(x) =xⁿ/n!*e^θx, θ ∈ (0,1).

Остаточный член оценивается так:

|Rn(x)| ≤|x|ⁿ/n!*e^|x| → 0 при n → ∞.

2. Функция y = sinx, a = 0. Для этой функции f(n)(x) = sin(x + πn/2) и f(n)(0) = sin(πn/2) для всех n = 0,1,.... Тогда

sinx = x −x³/3!+ ... + (−1)^ν+1x^2ν−1/(2ν − 1)!+ R_2ν+1(x) =(^ν−1_k=0Сумма)x^2k+1/(2k + 1)!*(−1)^k + R_2ν+1(x),

R_2ν+1(x) =x^2ν+1/(2ν + 1)!*sin(θx + (2ν + 1)π/2), θ ∈ (0,1).

Остаточный член оценивается так:

|R_2ν+1(x)| ≤|x|^2ν+1/(2ν + 1)!→ 0 при ν → ∞.

3. Функция y = cosx, a = 0. Для этой функции f(n)(x) = cos(x + πn/2)x и f(n)(0) = cos(πn/2) для всех n = 0,1,.... Тогда

cosx = 1 −x²/2!+ ... + (−1)^ν−1x^2(ν−1)/(2(ν − 1))!+ R_2ν(x) =(^ν−1_k=0Сумма)x^2k/(2k)!*(−1)^k + R_2ν(x),R_2ν(x) =x^2ν/(2ν)!*cos(θx + (2ν)π/2), θ ∈ (0,1).

Остаточный член оценивается так:

|R_2ν(x)| ≤|x|^2ν/(2ν)!→ 0 при ν → ∞.