44. Теорема Лопиталя.

Теорема Лопиталя. Пусть функции f и ϕ непрерывны и имеют производные в некоторой проколотой окрестности точки a (a - число или a = ±∞,∞), причем ϕ’(x) ≠ 0 в этой окрестности и

∃ lim _x→a f(x) = lim _x→a ϕ(x) = 0 (1) или ∃ lim _x→a f(x) = lim _x→a ϕ(x) = ∞. (2)

Тогда если существует lim _x→a f’(x)/ϕ’(x) = A конечный или бесконечный, то существует и предел lim _x→af(x) ϕ(x),причем lim _x→a f(x)/ϕ(x)= lim _x→af’(x)/ϕ’(x)= A

Утверждение остается справедливым, если заменить предел пределом справа или слева и соответственно заменить окрестность в формулировке теоремы на правую или левую окрестность. Доказательство. Пусть a - конечное число и выполнено (1) Тогда, полагая f(a) = ϕ(a) = 0, мы получим, что функции f(x),ϕ(x) непрерывны в точке a. Найдем проколотую ε-окрестность U точки a такую, что f(x),ϕ(x) дифференцируемы на U и непрерывны на U. К функциям f(x),ϕ(x) применима теорема Коши. Таким образом, какова бы ни была точка x ∈ U, найдется между a и x точка ξ = a + θ(x − a), 0 < θ < 1, такая, что

f(x)/ϕ(x) = (f(x) − f(a))/(ϕ(x) − ϕ(a))= f’(ξ) ϕ’(ξ) .

Очевидно, что если x → a, то и ξ = ξ(x) → a. Тогда выражение, стоящее в правой части последнего равенства имеет предел при x → a, а значит и существует

lim _x→a f(x)/ϕ(x)= lim _x→a(f(x) − f(a))/(ϕ(x) − ϕ(a))= lim _x→af’(x)/ϕ’(x).

В случае если число a конечно, но мы имеем дело с правым или левым пределом доказательство не меняется. Рассмотрим случай a = ∞ и предположим, что выполнено (1). Сделаем подстановку x = 1/u. Тогда получим функции F(u) = f(1/u), Φ(u) = ϕ(1/u). Они непрерывны в окрестности точки 0 (при a = −∞ или a = +∞ в правой или левой окрестностях точки 0), имеют производные (по u) в этой окрестности и Φ’ не равнa нулю в ней. При этом

lim _x→0F(u) = lim _x→∞f(x) = 0, lim _u→0Φ(u) = lim _x→∞ϕ(x) = 0.

Далее, если существует lim_x→∞ f’(x)/ϕ’(x), то, очевидно, существует равный ему предел:

lim _u→0F’(u) Φ’(u)= lim _u→0(f’(1/u)(−1/u2))/(ϕ’(1/u)(−1/u2))=lim _x→∞f’(x)/ϕ’(x).

Поэтому на основании уже доказанного выше (для конечного a)

∃ lim _x→∞f(x)/ϕ(x)= lim _u→0F(u)/Φ(u)= lim _u→0F’(u)/Φ’(u)= lim _x→∞f’(x)/ϕ’(x).

Случаи a = +∞ и a = −∞ в случае выполнения равенства (1) рассматриваются по аналогии. Этим теорема доказана в случае выполнения равенства (1). Пусть выполнено (2). По условию найдется проколотая ε-окрестность U точки a (или окрестность вида {x : |x| > M}, {x : x > M}, {x : x < −M} в случае, если a = ∞, a = +∞, или a = −∞), где функции f, ϕ дифференцируемы. Достаточно рассмотреть случай конечной точки a. Рассмотрения в случае бесконечной очки, сводятся, как это было сделано выше, к случаю конечной точки. Зададим произвольную последовательность точек x_k (x_k ≠ a, x_k ∈ U), стремящуюся к a (x_k → a). Так как по условию f(x_k) → ∞, ϕ(x_k) → ∞, то каждому натуральному k можно привести в соответствие натуральное n_k > k (n_k > n_k−1) такое, что k|f(x_k)| < |f(x_nk)|, k|ϕ(x_k)| < |ϕ(x_nk)|, k = 1,2,.... Следовательно, f(x_k) = o(f(x_nk)), ϕ(x_k) = o(ϕ(x_nk)), при k → ∞. Поэтому, используя теорему Коши, получим, что

lim _k→∞f(x_nk)/ϕ(x_nk)= lim_k→∞(f(x_nk) − f(x_k))/(ϕ(x_nk) − ϕ(x_k))= lim_k→∞f’(ξk)/ϕ(ξk)= lim_x→af’(x)/ϕ’(x)= A

Мы доказали, что из всякой последовательности x_k → a можно выделить подпоследовательность x_nk, для которой ∃ lim _k→∞ f(x_nk) ϕ(x_nk) = A. Отсюда и из теоремы 9 (о свойствах частичных пределов) легко вытекает, что lim _x→af(x) ϕ(x)= A.Ч.т.д. Если выполнено (1) или (2), то отношение f(x) ϕ(x) называется неопределенностью вида 0/0 или ∞/∞ при x → a.