35. Производная сложной функции.

Теорема 5 (теорема о производной сложной функции). Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, а функция g(y)дифференцируема в точке y₀ = f(x₀), то и их суперпозиция g(f(x)) также дифференцируема в точке x₀ и (g(f(x)))’(x0) = g’(f(x₀))*f’(x₀).

Доказательство. Из определения дифференцируемости имеем, что ∆g = g(y₀ + ∆y) − g(y₀) = g’(y₀)∆y + o(∆y), y₀ = f(x₀). (5)

Возьмем ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀), тогда ∆y → 0 при ∆x → 0 и y₀ + ∆y = f(x₀ + ∆x). Поделим обе части (5) на ∆x. Получим

∆g/∆x=g(f(x₀ + ∆x)) − g(f(x₀))/∆x= g’(y₀)∆y ∆x+o(∆y)/∆y*∆y/∆x.

Из определения величины o-малое, заключаем, что o(∆y) ∆y → 0 при ∆x → 0. Из определения производной мы видим, что предел правой части этого равенства при ∆x → 0 существует и равен g’(f(x₀))f0(x₀). Отсюда вытекает, что существует предел левой части и утверждение теоремы. Ч.т.д.

36. Таблица производных.

Таблица производных

1) (sinx)’ = cosx, (cosx)’ = −sinx;

2) (tgx)’ = 1/cos²(x), (ctgx)’ = −1/sin²x;

3) (arcsinx)’ = 1/ √ (1 − x²), (arccosx)’ = −1/ √( 1 − x²);

4) (arctg x)’ = 1/(1 + x²) (arcctgx)’ = −1/(1 + x²);

5) (log _a x)’ = 1/(x ln a), (lnx)’ = 1/x, (a^x)’ = a^x lna, (e^x)’ = e^x;

6) (x^s)’ = sx^s−1.

37. Производные от тригонометрических функций и обратных к ним.

1) Имеем, используя первый замечательный предел, что

(sinx)’ = lim_∆x→0(sin(x+∆x)−sinxj)/∆x = lim_∆x→0(2sin(∆x/2)cos(x+∆x/2))/∆x = lim_∆x→0(sin(∆x/2).∆x/2)*cos(x + ∆x/2) = cosx.

Аналогично,

(cosx)’ = lim_∆x→0(cos(x+∆x)−cosx)/∆x = lim _∆x→0(-2sin(∆x/2)sin(x+∆x/2))/∆x =

-lim_∆x→0(sin(∆x/2)/∆x/2)* sin(x + ∆x/2) = −sinx.

2) Производные от функций tgx, ctgx вычисляются с использованием теоремы 4 как производные отношений. Имеем

(tgx)’ =(sinx/cosx)’= (cosx*cosx+sinx*sinx)/cos²x = 1/cos²(x),

(ctgx)’ =(cosx/sinx)’= (−sinx*sinx−cosx*cosx)/sin²x = −1/sin²(x).

3), 4). Используем теорему о производной обратной функции. Пусть y = arcsinx. Тогда x = siny и y ∈ [−π/2,π/2]. По теореме о производной обратной функции

y’ =1/cosy=1/cos(arcsinx)=1/√(1 − sin²(arcsinx))=1/√(1 − x2)

Аналогично, если y = arccosx, то x = cosx и y ∈ [0,π]. По той же теореме

y’=−1/siny=−1/sin(arccosx)=−1/√(1 − cos²(arccosx))=−1/√(1 − x²).

Если y = arctgx, то y' =1/1/cos² y=1/(1 + tg²(arctgx))=1/(1 + x²)

и если y = arcctgx, то y’ =1/(−1/sin² y)=−1/(1 + ctg²(arcctgx))=−1/(1 + x²).

38. Производная от логарифмической, показательной и степенной функции

5) Найдем производную от функции lnx.

lim _∆x→0(ln(x + ∆x) – lnx)/∆x= lim _∆x→0(ln(1 + ∆x/x))/∆x= lim _∆x→0(ln(1 + ∆x/x))/(∆x/x)*(1/x)=1/x.

Таким образом, (lnx)’ = 1/x. Тогда (log_ax)’ = (lnx/lna)’ = 1/(x lna).

Производную от a^x найдем используя производную обратной функции. Если y = a^x, то x = log_a y и y’ = 1/(loga y)’ = ylna = a^x lna.

Соответственно, (e^x)’ = e^x. 6) Используем теорему о производной сложной функции. С одной стороны (lnx^s)’ =(x^s)’/x^s.

С другой стороны (lnx^s)’ = s(lnx)’ = s/x. Сравнивая полученные равенства, придем к требуемому.

39. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть заданы две функции x = x(t),y = y(t) (t ∈ (a,b)), причем x = x(t) строго монотонна на (a,b), т.е. возрастает или убывает. Тогда определена обратная функция t = ϕ(x) и соответственно определена функция y = f(x) = y(ϕ(x)). В этом случае мы говорим, что функция y = f(x) задана параметрически. В силу теорем о дифференцировании обратной функции и суперпозиции функций имеем, что, если функции x = x(t),y = y(t) дифференцируемы в точке интервала или на всем интервале (a,b), то этим же свойством обладает и функция y = f(x), причем имеем

f’(x) = y’(ϕ(x))ϕ’(x) = y’(ϕ(x))/x’(ϕ(x)) = y’(t)/x’(t).

Таким образом, можем сделать вывод, что производная от функции y = f(x), заданной параметрически вычисляется по формуле

f’(x) =y’(t)/x’(t), x = x(t), y = y(t), t ∈ (a,b).

Повторяя рассуждения можем найти и другие производные от функции f(x). Например, для производной f’’(x) имеем

f’’(x) = (f’(x))’ =1/x’(t)*(d/dt)*(y’(t)/x’(t)).