Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ekzamen_po_mat_analizu.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
201.31 Кб
Скачать
  1. Касательная к графику, ее существование.

Прямая y = kx + b называется касательной к графику функции y = f(x) в точке x0, если в некоторой окрестности x0 имеем равенство f(x) − (kx + b) = o(x − x0).

Теорема 3. Функция f дифференцируема в точке x0 ⇔ f имеет в точке x0 касательную.

Доказательство. Если f дифференцируема, то в некоторой окрестности x0 имеем равенство

f(x) = f(x0) + f(x0)(x − x0) + o(x − x0).

Таким образом, прямая y = f(x0) + f(x0)(x − x0) – касательная к графику функции в точке x0. Обратно, пусть f имеет в точке x0 касательную. Тогда в некоторой окрестности x0 f(x) = k(x − x0) + β + o(x − x0). Полагая здесь x = x0 получим, что β = f(x0). Из определения дифференцируемости получим, что f дифференцируема и k = f(x0). Ч.т.д.

Следствие 1. Уравнение касательной к графику в точке x = x0 имеет вид y = f(x0)(x − x0) + f(x0).

Дифференцируемость функции в точке имеет простой геометрический смысл: существование в этой точке касательной к графику функции. При этом производная функции есть тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. В этом состоит геометрический смысл производной. Если материальная точка проходит за время t расстояние S(t), то исходя из определения получаем, что производная v(t) = S’(t) есть скорость этой точки в момент времени t, соответственно, производная v’(t) есть ускорение точки в момент времени t. В этом состоит физический смысл производной. Говорим, что функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Говорим, что функция f(x) дифференцируема на промежутке [a,b], если она дифференцируема на интервале (a,b) и имеет правую и соответственно левую производные в точках x = a и x = b. Говорим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема на интервале (a,b) (промежутке [a,b]), если она дифференцируема на этом интервале (промежутке) и производная непрерывна на этом интервале (промежутке).

Пусть f дифференцируема в точке x0. Тогда имеет место представление

∆f(x) = f’(x0)(x − x0) + o(x − x0) = f’(x0)∆x + o(∆x).

При x → x0 величина o(x−x0) мала по сравнению с величиной f’(x0)(x−x0). Дифференциалом функции f в точке x0 называется главная линейная часть приращения функции в точке x0. По определению имеем, что дифференциал функции y = f(x) в точке x0 равен dy = f’(x0)∆x.

Часто используется следующая формальная запись дифференциала: dy = f’(x0)dx. Тогда можем записать f’(x0) = dy/dx. При малых ∆x справедливо приближенное равенство f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f’(x0)∆x.

  1. Производная суммы, произведения, частного.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u+v)’=u’+v’.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и (u*v)’=u’*v+u*v’

Производная произведения двух функций не равна произведению производных этих функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле (u/v)’= (u’*v-u*v’)/v^2.

  1. Производная обратной функции.

Теорема 6 (теорема о производной обратной функции). Если функция y = f(x) непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x0, дифференцируема в точке x0, причём f”(x0) 0, то и обратная функция x = ϕ(y) = f−1(y) дифференцируема в точке y0 = f(x0), причём ϕ’(y0) = 1/f’(x0) = 1’f’(ϕ(y0)) .

Доказательство. Отметим, что функция ϕ непрерывна в точке y0 (по теореме о непрерывности обратной функции). Тогда ∆x = ∆ϕ = ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0) → 0 тогда и только тогда, когда ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) → 0. Имеем, что

∆ϕ/∆y=(ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0))/∆y=∆ϕ/∆y. (6)

Тогда f(x0+∆x) = y0+∆y, ∆y = y0+∆y−y0 = f(x0+∆x)−f(x0) = ∆f. Следовательно, ∆y/∆ϕ = ∆f/∆x → f’(x0) при ∆x → 0. Таким образом, в силу (6) заключаем, что ∆ϕ/∆y = 1/∆f/∆x → 1/f’(x0)

при ∆x → 0.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]