32. Касательная к графику, ее существование.

Прямая y = kx + b называется касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀, если в некоторой окрестности x₀ имеем равенство f(x) − (kx + b) = o(x − x₀).

Теорема 3. Функция f дифференцируема в точке x₀ ⇔ f имеет в точке x₀ касательную.

Доказательство. Если f дифференцируема, то в некоторой окрестности x₀ имеем равенство

f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀).

Таким образом, прямая y = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) – касательная к графику функции в точке x₀. Обратно, пусть f имеет в точке x₀ касательную. Тогда в некоторой окрестности x₀ f(x) = k(x − x₀) + β + o(x − x₀). Полагая здесь x = x₀ получим, что β = f(x₀). Из определения дифференцируемости получим, что f дифференцируема и k = f’(x₀). Ч.т.д.

Следствие 1. Уравнение касательной к графику в точке x = x₀ имеет вид y = f’(x₀)(x − x₀) + f(x₀).

Дифференцируемость функции в точке имеет простой геометрический смысл: существование в этой точке касательной к графику функции. При этом производная функции есть тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. В этом состоит геометрический смысл производной. Если материальная точка проходит за время t расстояние S(t), то исходя из определения получаем, что производная v(t) = S’(t) есть скорость этой точки в момент времени t, соответственно, производная v’(t) есть ускорение точки в момент времени t. В этом состоит физический смысл производной. Говорим, что функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Говорим, что функция f(x) дифференцируема на промежутке [a,b], если она дифференцируема на интервале (a,b) и имеет правую и соответственно левую производные в точках x = a и x = b. Говорим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема на интервале (a,b) (промежутке [a,b]), если она дифференцируема на этом интервале (промежутке) и производная непрерывна на этом интервале (промежутке).

Пусть f дифференцируема в точке x₀. Тогда имеет место представление

∆f(x) = f’(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀) = f’(x₀)∆x + o(∆x).

При x → x₀ величина o(x−x₀) мала по сравнению с величиной f’(x₀)(x−x₀). Дифференциалом функции f в точке x₀ называется главная линейная часть приращения функции в точке x₀. По определению имеем, что дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен dy = f’(x₀)∆x.

Часто используется следующая формальная запись дифференциала: dy = f’(x₀)dx. Тогда можем записать f’(x₀) = dy/dx. При малых ∆x справедливо приближенное равенство f(x₀ + ∆x) ≈ f(x₀) + f’(x₀)∆x.

33. Производная суммы, произведения, частного.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u+v)’=u’+v’.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и (u*v)’=u’*v+u*v’

Производная произведения двух функций не равна произведению производных этих функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле (u/v)’= (u’*v-u*v’)/v^2.

34. Производная обратной функции.

Теорема 6 (теорема о производной обратной функции). Если функция y = f(x) непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём f”(x₀) ≠ 0, то и обратная функция x = ϕ(y) = f⁻¹(y) дифференцируема в точке y₀ = f(x₀), причём ϕ’(y₀) = 1/f’(x₀) = 1’f’(ϕ(y₀)) .

Доказательство. Отметим, что функция ϕ непрерывна в точке y₀ (по теореме о непрерывности обратной функции). Тогда ∆x = ∆ϕ = ϕ(y₀ + ∆y) − ϕ(y₀) → 0 тогда и только тогда, когда ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) → 0. Имеем, что

∆ϕ/∆y=(ϕ(y₀ + ∆y) − ϕ(y₀))/∆y=∆ϕ/∆y. (6)

Тогда f(x₀+∆x) = y₀+∆y, ∆y = y₀+∆y−y₀ = f(x₀+∆x)−f(x₀) = ∆f. Следовательно, ∆y/∆ϕ = ∆f/∆x → f’(x₀) при ∆x → 0. Таким образом, в силу (6) заключаем, что ∆ϕ/∆y = 1/∆f/∆x → 1/f’(x₀)

при ∆x → 0.