
- •Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами.
- •Декартово произведение. Отображения множеств.
- •Мощность множества. Теорема Кантора.
- •Счетные и не более чем счетные множества. Несчетность множества вещественных чисел и счетность множества рациональных чисел.
- •Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум. Основное свойство супремума и инфимума.
- •Числовая последовательность и ее предел. Эквивалентность различных определений предела.
- •Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел. Теоремы о сравнении пределов. Единственность предела.
- •Арифметические свойства пределов (предел суммы, произведения, частного).
- •Теорема о пределе произведения (частного) последовательностей.
- •Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Подпоследовательности, частичные пределы, теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •Свойства подпоследовательностей (существование предела при совпадении частичных пределов).
- •Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •Критерий Коши для последовательностей.
- •Предел функции, определение предела на языке окрестностей, последовательностей, на языке ε, δ. Их эквивалентность.
- •Теоремы о сравнении пределов функций.
- •Предел произведения, частного, суммы функций.
- •Критерий Коши для пределов функций.
- •Монотонные функции. Правый и левый пределы.
- •Теорема о существовании предела монотонной функции.
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •1. Первый замечательный предел:
- •2. Второй замечательный предел:
- •Непрерывность функции. Определения, их эквивалентность.
- •Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции.
- •Односторонняя непрерывность. Непрерывность на отрезке. 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса.
- •Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
- •Теорема о существовании нулей непрерывной функции, принимающей на концах промежутка значения разных знаков.
- •Теорема о непрерывности обратной функции.
- •Классификация точек разрыва.
- •Производная функции. Непрерывность функции, имеющей производную. Правая и левая производные.
- •Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференцируемости и существования производной.
- •Касательная к графику, ее существование.
- •Производная суммы, произведения, частного.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные от тригонометрических функций и обратных к ним.
- •Производная от логарифмической, показательной и степенной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •Локальные экстремумы и теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши.
- •Теорема Лагранжа и теорема Коши.
- •Теорема Лопиталя.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Условия возрастания и убывания функции.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Выпуклость кривой (графика функции), достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.
- •Асимптоты.
- •Полное исследование и построение графика.
- •Первообразная и ее свойства. Буква z дальше будет обозначать знак интеграла!
- •Неопределенный интеграл. Следствия из определения.
- •Линейность операции интегрирования.
- •Метод интегрирования по частям, замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Теорема о разложении рациональной функции на элементарные дроби (без доказательства).
- •Интегрирование элементарных дробей.
- •Нахождение интегралов, сводящимся к интегралам от рациональных функций.
- •Разбиения. Определенный интеграл Римана.
- •Геометрический смысл интеграла.
- •Необходимое условие интегрируемости.
- •Суммы Дарбу, их свойства.
- •Существование интеграла, в случае, когда пределы верхних и нижних сумм Дарбу совпадают. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
- •Интегрируемость непрерывной функции.
- •Аддитивные свойства интеграла и следствия.
- •Интеграл от линейной комбинации функций.
- •Неравенства для интегралов.
- •Интегрируемость модуля функции.
- •Теорема о среднем.
- •Теорема о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям.
- •Вычисление площади в декартовых координатах.
- •Вычисление площади в полярных координатах.
- •Вычисление объема тела вращения.
- •Вычисление площади боковой поверхности тела вращения.
- •Кривые. Гладкая кривая. Формула длины гладкой кривой.
Касательная к графику, ее существование.
Прямая y = kx + b называется касательной к графику функции y = f(x) в точке x0, если в некоторой окрестности x0 имеем равенство f(x) − (kx + b) = o(x − x0).
Теорема 3. Функция f дифференцируема в точке x0 ⇔ f имеет в точке x0 касательную.
Доказательство. Если f дифференцируема, то в некоторой окрестности x0 имеем равенство
f(x) = f(x0) + f’(x0)(x − x0) + o(x − x0).
Таким образом, прямая y = f(x0) + f’(x0)(x − x0) – касательная к графику функции в точке x0. Обратно, пусть f имеет в точке x0 касательную. Тогда в некоторой окрестности x0 f(x) = k(x − x0) + β + o(x − x0). Полагая здесь x = x0 получим, что β = f(x0). Из определения дифференцируемости получим, что f дифференцируема и k = f’(x0). Ч.т.д.
Следствие 1. Уравнение касательной к графику в точке x = x0 имеет вид y = f’(x0)(x − x0) + f(x0).
Дифференцируемость функции в точке имеет простой геометрический смысл: существование в этой точке касательной к графику функции. При этом производная функции есть тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. В этом состоит геометрический смысл производной. Если материальная точка проходит за время t расстояние S(t), то исходя из определения получаем, что производная v(t) = S’(t) есть скорость этой точки в момент времени t, соответственно, производная v’(t) есть ускорение точки в момент времени t. В этом состоит физический смысл производной. Говорим, что функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.
Говорим, что функция f(x) дифференцируема на промежутке [a,b], если она дифференцируема на интервале (a,b) и имеет правую и соответственно левую производные в точках x = a и x = b. Говорим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема на интервале (a,b) (промежутке [a,b]), если она дифференцируема на этом интервале (промежутке) и производная непрерывна на этом интервале (промежутке).
Пусть f дифференцируема в точке x0. Тогда имеет место представление
∆f(x) = f’(x0)(x − x0) + o(x − x0) = f’(x0)∆x + o(∆x).
При x → x0 величина o(x−x0) мала по сравнению с величиной f’(x0)(x−x0). Дифференциалом функции f в точке x0 называется главная линейная часть приращения функции в точке x0. По определению имеем, что дифференциал функции y = f(x) в точке x0 равен dy = f’(x0)∆x.
Часто используется следующая формальная запись дифференциала: dy = f’(x0)dx. Тогда можем записать f’(x0) = dy/dx. При малых ∆x справедливо приближенное равенство f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f’(x0)∆x.
Производная суммы, произведения, частного.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u+v)’=u’+v’.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и (u*v)’=u’*v+u*v’
Производная произведения двух функций не равна произведению производных этих функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле (u/v)’= (u’*v-u*v’)/v^2.
Производная обратной функции.
Теорема 6 (теорема о производной обратной функции). Если функция y = f(x) непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x0, дифференцируема в точке x0, причём f”(x0) ≠ 0, то и обратная функция x = ϕ(y) = f−1(y) дифференцируема в точке y0 = f(x0), причём ϕ’(y0) = 1/f’(x0) = 1’f’(ϕ(y0)) .
Доказательство. Отметим, что функция ϕ непрерывна в точке y0 (по теореме о непрерывности обратной функции). Тогда ∆x = ∆ϕ = ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0) → 0 тогда и только тогда, когда ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) → 0. Имеем, что
∆ϕ/∆y=(ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0))/∆y=∆ϕ/∆y. (6)
Тогда f(x0+∆x) = y0+∆y, ∆y = y0+∆y−y0 = f(x0+∆x)−f(x0) = ∆f. Следовательно, ∆y/∆ϕ = ∆f/∆x → f’(x0) при ∆x → 0. Таким образом, в силу (6) заключаем, что ∆ϕ/∆y = 1/∆f/∆x → 1/f’(x0)
при ∆x → 0.