25. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Теорема 5 (теорема Кантора). Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется ε > 0 такое, что ∀δ > 0 ∃x,y ∈ [a,b] такие, что |x − y| < δ и |f(x) − f(y)| ≥ ε. Возьмем δ = 1/n и построим точки x_n,y_n такие, что |x_n −y_n| < 1/n и |f(x_n)−f(y_n)| ≥ ε. Используя теорему Больцано-Вейерштрасса, найдем подпоследовательность x_nk такую, что x_nk → α ∈ [a,b]. Рассмотрим подпоследовательность y_nk, которая и сама является последовательностью. Опять по теореме Больцано-Вейерштрасса найдем подпоследовательность последовательности y_nk сходящейся к некоторой точке β ∈ [a,b]. Пусть m_k – соответствующая последовательность индексов этой подпоследовательности и, таким образом, y_mk → β, x_mk → α при k → ∞. Поскольку |x_mk − y_mk| ≤ 1/m_k → 0, то α = β. Тогда f(x_mk),f(y_mk) → f(α) и тогда |f(x_mk) − f(y_mk)| → 0. С другой стороны, |f(x_mk) − f(y_mk)| ≥ ε. Противоречие. Ч.т.д.

26. Теорема о существовании нулей непрерывной функции, принимающей на концах промежутка значения разных знаков.

Теорема 6. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)*f(b) < 0 (т.е. функция принимает на концах промежутка значения разных знаков), то есть хотя бы одна точка c ∈ (a,b) такая, что f(c) = 0.

Доказательство. Пусть c – середина отрезка ∆0 = [a,b]. Если f(c) = 0, то мы нашли нашу точку c. Если f(c) 6= 0, то хотя для одного из отрезков [a,c] и [c,b] функция f принимает на концах значения разных знаков. Обозначим этот отрезок через ∆1. Применим те же рассуждения ∆1. Мы либо найдем точку c, в которой f(c) = 0 либо построим отрезок ∆2, на концах которого f принимает значения разных знаков. Повторяя процедуру, мы либо найдем искомую точку c, либо построим последовательность вложенных промежутков ∆k, длины которых стремятся к нулю при k → ∞ и на концах которых функция принимает значения разных знаков. По лемме о вложенных промежутках, ∃c ∈ ∩^∞ _k=1∆k. Покажем, что f(c) = 0. Действительно, если f(c) ≠ 0, то по определению непрерывности существует δ > 0: |f(x) − f(c)| < |f(c)|/2 для всех x: |x − a| < δ. Тогда, имеем f(c) − |f(c)|/2 < |f(x)| < f(c) + |f(c)|/2 для всех x: |x − a| < δ. Следовательно, либо f(c)/2 < f(x) < 3f(c)/2 (если f(c) > 0) либо 3f(c)/2 < f(x) < f(c)/2 (если f(c) < 0). И в том и другом случае f сохраняет свой знак на [a,b]. С другой стороны, найдется N такое, что длины отрезков ∆n меньше δ при всех n > N. Тогда ∆n ⊂ (a − δ,a + δ) для n > N. Но на концах ∆n функция принимает значения разных знаков, то противоречит знакоопределенности f на (a − δ,a + δ). Ч.т.д.

27. Теорема о непрерывности обратной функции.

Теорема 7. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b] и строго монотонна, т.е. убывает или возрастает, Тогда R(f) = [A,B], где A = f(a),B = f(b), если f возрастает и A = f(b),B = f(a), если f убывает. Обратная функция f⁻¹(y) определена и непрерывна на [A,B].

Доказательство. Пусть, например, функция f возрастает. Покажем, что R(f) =[A,B]. Возьмем x ∈ [a,b]. Поскольку a ≤ x ≤ b, то A ≤ f(x) ≤ B и значит R(f) ⊂ [A,B]. Обратно, пусть y ∈ [A,B]. Рассмотрим функцию g(x) = f(x) − y. Имеем, что g(a) < 0, g(b) > 0 и тогда по теореме 6 найдется точка x ∈ (a,b): g(x) = 0, т.е. f(x) = y. Следовательно, y ∈ R(A), т.е. [A,B] ⊂ R(A). Получили обратное вложение и значит R(A) = [A,B]. Из строгой монотонности вытекает, что разные точки x₁,x₂ отображаются в разные и значит функция f взаимно однозначна. Тогда существует обратная функция ϕ(y) = f⁻¹(y). Возьмем точку y₀ ∈ (A,B). Найдется x₀ ∈ (a,b): f(x₀) = y₀. Возьмем окрестность V точки x₀. Найдется ε > 0 такое, что V₀ = (x₀ − ε,x₀ + ε) ⊂ (a,b) ∩ V . Положим y₁ = f(x₀ − ε), y₂ = f(x₀ + ε). Тогда для любого y ∈ (y₁,y₂) = U имеем, что f⁻¹(y) ⊂ V₀ ⊂ V , т.е. f⁻¹(U) ⊂ V . Таким образом, f⁻¹ непрерывна в любой точке y ∈ (A,B). Аналогично рассматриваем, крайние случаи, когда y₀ = A или y₀ = B. Доказательство ничем не отличается в случае если f убывает. Ч.т.д.