1. Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами.

Множество – совокупность объектов любой природы. Элементы данного множества – объекты данного множества.

Операции над множествами:

Теперь определим операции над множествами.

1.Пересечение множеств.

Свойства пересечения:

1.X∩Y = Y∩X – коммутативности

2.(X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z – ассоциативности

3.X∩∅=∅

4.X∩ I= Х

2. Объединение множеств

Определение: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.

 Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} объединением {1,2,3,4,6}

Свойства объединения:

1.XUY= YUY- коммутативности

2.(X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ – ассоциативности

3.XU∅= X

4. XU I = I 

3. Разность множеств

Определение: Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} разность {1,3}

4. Дополнение множества

Дополнением множества Х называется разность I и Х.

Свойства дополнения:

1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов

2.Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению.1.

 

Законы и тождества алгебры множеств:

X∩Y=Y∩X- коммутативности пересечения

(X∩Y) ∩Z=X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z — ассоциативности пересечения

XUY=YUY- коммутативности объединения

(XUY) UZ=XU (YUZ)=XUYUZ — ассоциативности объединения

Свойства операций над множествами:

1.2. Свойства операций над множествами.

1. A ⊂ A.

2. A ⊂ B, B ⊂ A ⇔ A = B.

3. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

4. ∅ ⊂ A ∀A.

5. (∪α∈ΘAα) ∩ B = ∪α∈Θ(Aα ∩ B).

6. (∩α∈ΘAα) ∪ B = ∩α∈Θ(Aα ∪ B).

7. A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B, A ∩ B = A.

8. A ∪ A0 = E, A ∩ A0 = ∅.

9. ¡ ∪α∈ΘAα ¢0 = ∩α∈ΘA0α.

10. ¡ ∩α∈ΘAα ¢0 = ∪α∈ΘA0α.

2. Декартово произведение. Отображения множеств.

Под декартовым произведением A×B двух множеств A и B понимаем множество пар (x,y) таких, что x ∈ A и y ∈ B. Таким образом, A × B = {(x, y): x ∈ A, y ∈ B}.

Пример 1. Возьмем A = (0,1), B = (0,1). Тогда A × B = {(x,y): x,y ∈ (0,1) ⊂ R}. Очевидно, что декартово произведение множеств A и B совпадает с прямоугольником P = {(x,y) ∈ R2: 0 < x < 1, 0 < y < 1} на плоскости.

Определение 1. Подмножество F ⊂ A×B называется соответствием или многозначным отображением. Множество D(F) = {x ∈ A: ∃y ∈ B: (x,y) ∈ F} называется областью определения соответствия F, а множество R(F) = {y ∈ B: ∃x ∈ A: (x,y) ∈ F} называется областью значения соответствия.

Определение 2. Соответствие F называется отображением (или функцией), если ∀x ∈ D(F) ∃!y ∈ R(F): (x,y) ∈ F. Другими словами, в случае отображения любому x ∈ D(F) отвечает единственный элемент y ∈ R(F) такой, что (x,y) ∈ F. Этот единственный элемент y обычно обозначается через F(x). Можно привести и другое эквивалентное определение отображения.

Определение 2’. Отображение F есть закон (или правило), согласно которому каждому элементу из множества D(F) ⊂ A сопоставляется единственный элемент y ∈ B. Чтобы обозначить, откуда и куда действует отображение F, используется обозначение: F: A → B. Таким образом, обозначение F: A → B значит, что F – отображение, определенное на некотором подмножестве D(F) ⊂ A со значениями в B. Пусть F: A → B – отображение и C ⊂ D(F). Множество F(C) = {F(x): x ∈ C} называется образом множества C, а множество F⁻¹(D) = {x ∈ D(F): ∃y ∈ D: F(x) = y} называется прообразом множества D.

Определение 3. Отображение F: A → B, определенное на всем A, называется сюръективным (или сюръекцией или отображением на), если F(A) = B.

Определение 4. Взаимно-однозначное отображение F: A → B, определенное на всем A, называется инъективным (или инъекцией). Таким образом, если F – инъекция, то ∀y ∈ R(F) ∃!x ∈ A: F(x) = y.

Определение 5. Отображение F: A → B, определенное на всем A, называется биективным (биекцией), если оно сюръективно и инъективно. Если отображение F инъективно, то определено обратное отображение F⁻¹: Y → X, сопоставляющее любому y ∈ R(F) его прообраз F⁻¹(y). В случае биекции мы имеем

F(F⁻¹(y)) = y ∀y ∈ B, F⁻¹(F(x)) = x ∀x ∈ A.

Отображение F: A → R обычно называют числовой функцией. Пусть даны два отображения F: A → B, G: B → C, причем R(F) ⊂ D(G). Тогда для всех x ∈ D(F) определена величина G(F(x)). Отображение H: x → G(F(x)) c областью определения D(A) называется суперпозицией отображений F и G и обозначается H = G ◦ F