Банк задач для подготовки к экзамену
ГРФ
Дисциплина математика
I семестр 2013-2014
Модуль 1
Раздел 1 – Линейная алгебра.
Решить уравнение
.Вычислить определитель
.Найти
,
если
,
.Дано
.
Существует ли CА и АC? Если да, найдите их.
Найти решение системы
методом Крамера
.
В ответе указать
Решить систему матричным методом и методом Крамера
.Решить систему методом Гаусса
.Найти фундаментальную систему решений
Найти ранг, норму, след, собственные числа и собственные векторы матрицы
Найти ранг, норму, след, число обусловленности , собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решить матричное уравнение:
Найти значение матричного многочлена, если
, если
.Найти значение матричного многочлена, если , если
.
Раздел 2 – Векторная алгебра.
Определить начало вектора
,
если его конец совпадает с точкой
(1;-1;2), найти соответствующий ему
нормированный вектор.
Векторы
и
образуют
угол
,
причем
.
Определить
и
.
При каких
скалярное произведение векторов
и
равно 0.При каких
векторное произведение векторов
и
равно 0.Коллинеарны ли векторы
и
,построенные
по векторам
и
?
,
,
,
.
Найти косинус угла между векторами
и
.
,
,
.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
,
,
,
,
.
Компланарны ли векторы , и
?
.
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
и
его высоту, опущенную из вершины
на грань
.
.
Проверить, что 4 точки A(3;-1;2), B(1,2,-1), C(-1,1,-3), D(3;-5;3) служат вершинами трапеции.
Даны вершины
:
A(-1;-2;4), B(-4,-2,0),
C(3,-2,1). Определить его
внутренний угол при вершине B.Даны вершины : A(1;-1;2), B(5,-6,2), C(1,3,-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.
Даны 3 вектора
,
,
.
Найти: 1)
;
2)
.Установить, компланарны ли векторы
.
Если векторы компланарны, найти линейную
зависимость между ними.Разложить вектор
по трем некомпланарным векторам
,
,
.Написать разложение вектора
по векторам
,
предварительно доказав что они образуют
базис.
Найти координаты вектора
в новом базисе
,
,
.
Модуль 2 Раздел 3 – Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости
Найти координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3:4 от начала. Координаты точек А(1;6), В(-3;8).
Составить уравнение прямой, проходящей через точку K(2;2) параллельно прямой
.Написать уравнение прямой, проходящей через точки E(1;3) и F(5;2). Найти точки пересечения данной прямой с осями координат.
Даны вершины треугольника: A(4;1), B(0;-2), C(-5;10).
Найти: 1) Уравнение стороны BC; 2) Длину стороны BC; 3) Уравнение высоты, проведенной из вершины A; 4) Длину высоты, проведенной из вершины A; 5) Уравнение медианы, проведенной из вершины В; 6) Уравнение средней линии, параллельной стороне ВС; 7) площадь треугольника АВС; 8) Угол B; 9) Сделать чертеж.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;5), В(1;1), С(-5;9). Найти уравнение высоты АД; уравнение средней линии треугольника КМ, параллельной стороне АВ; угол между АД и КМ.
Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x-y-1=0 и x-2y-1=0 и точка P(2;2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма. Сделать чертеж.
Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями
,
,
.