Тема 4. Временные ряды в эконометрических исследованиях

Задание 6. Моделирование тенденции временного ряда

По данным о динамике цен (приложения 11 и 12) произвести моделирование тенденции временного ряда.

Методика выполнения:

Выполнение задания предусматривает решение комплекса вопросов в определенной последовательности: выявление структуры ряда; выравнивание исходного ряда методом скользящей средней; определение сезонной компоненты; устранение сезонной составляющей из исходных уравнений ряда и получение выровненных данных в аддитивной модели или мультипликативной модели; аналитическое выравнивание уровней и расчет значений трендовой составляющей; расчет абсолютных и относительных ошибок.

1. Для выявления структуры ряда построить график, характеризующий динамику изменения цен (рисунок 4).

ц е н ы

месяцы года t

Рисунок 4. Динамика цен ……………………….

Рассчитать коэффициенты автокорреляции уровней первого и второго порядков.

Таблица 8 – Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка

t	yt	y t-1	yt -		(yt - ) ·	2	2
1 2 … 12
Итого

Величина коэффициента автокорреляции уровней ряда первого порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда при лаге 1.

, где ; .

Таблица 9 – Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка

t	yt	y t-2	yt −			2	2
1 2 … 12
Итого

, где ;

Величина коэффициентов автокорреляции позволяет определить структуру ряда. Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высокими оказались коэффициенты следующих порядков, то ряд содержит циклические колебания с определенной периодичностью.

В зависимости от вида динамики по графику (рисунок 4) и величины коэффициентов моделирование далее осуществляется по аддитивной или мультипликативной модели.

2. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней и оценка сезонной компоненты (в данном случае по месяцам года) производится поэтапно:

а) суммируются уровни ряда последовательно за три месяца со сдвигом на один момент времени;

б) полученные суммы делятся на три и находят скользящие средние;

Таблица 10 – Расчет оценок сезонной компоненты

№ месяца (t)	Цена	Итого за 3 месяца	Скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты	Скорректированная компонента
1	2	3	4	5	6
1 2 … 12

в) оценки сезонной компоненты в аддитивной модели находятся как разность между фактическими уровнями ряда и скользящими средними, в мультипликативной модели числовое значение сезонной компоненты получается путем деления фактического уровня ряда на скользящую среднюю. Эти оценки далее используются для расчета значений скорректированной сезонной компоненты;

г) значение скорректированной сезонной компоненты в аддитивной модели находится путем исправления фактических отклонений между эмпирическими значениями ряда и скользящей средней таким образом, чтобы сумма отклонений была равна нулю. По первому и последнему месяцу учитывается средняя поправка.

Значения скорректированной сезонной компоненты в мультипликативной модели находится путем умножения на поправочный коэффициент, получаемый путем деления суммы оценок на их количество.

3. Устранение влияния циклической компоненты в аддитивной модели производится путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Полученные значения Т + Е = у_t - S _i рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 11 – Расчет выровненных значений «Т» и ошибок «Е» в аддитивной модели

t	yt	Si	T+E = yt - Si	T	T + Si	E= yt – (T + Si)	E2	(yt - )2
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Влияние циклической компоненты в мультипликативной модели устраняется путем деления каждого уровня исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты и получения величин Т · Е = у : S (гр.4, табл. 12).

Таблица 12 – Расчет выровненных значений Т и ошибок Е мультипликативной модели

t	yt	Si	Т · Е = уt : S i	T	T· Si	E= yt : (T· Si)	E1=yt – - (T· Si)	(E1)2	(yt - )2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1 2 … 12

4. Для определения компоненты «Т» аддитивной модели необходимо провести аналитическое выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда. Используя программу Excel или расчеты способом от условного нуля, получим линейное уравнение тренда…………….. Подставляя в это уравнение значение «t» определяются теоретические уровни «Т» (гр.5 , таблица 11).

Для определения компоненты «Т» в мультипликативной модели необходимо провести аналитическое выравнивание ряда (Т · Е) с помощью криволинейного тренда. Используя компьютерную программу, получим уравнение тренда ………….

Подставляя в это уравнение значение «t» определяются теоретические уровни «Т» (гр.5, табл. 12).

5. Уровни временного ряда, полученные по аддитивной модели, составят Т + S_i (гр.6, табл.11). Уровни временного ряда, полученные по мультипликативной модели, составят «Т · S_i» (гр.6, табл.12).

6. Расчет ошибки аддитивной модели производится по формуле: Е = у_i – (T + S) (гр.7, табл.12). Расчет относительной ошибки в мультипликативной модели производится по формуле Е = у : (Т ∙ S), абсолютной – по Е = y_t – (Т ∙ S).

Общая оценка качества модели производится по доле объясненной дисперсии уровней ряда 1 − ΣЕ² /Σ( – )².

7. Прогнозное значение по месяцам следующего года для аддитивной модели можно получить как сумму трендовой и сезонной компонент (у = T + S), используя уравнение тренда Т= a + b · t ; получив трендовые компоненты Т₁₃, Т₁₄, Т₁₅ , прибавляя к ним сезонные компоненты S₁, S₂, S₃ , получим прогнозные значения по месяцам следующего года у₁₃, у₁₄, у₁₅. Прогнозное значение на 2-3 месяца вперед по мультипликативной модели можно определить по уравнению тренда с корректировкой его на значение сезонной компоненты за соответствующий месяц y_пр = ỹ · S_i .

Задание 7. Изучение взаимосвязи по временным рядам

По данным приложения 1 и 2 необходимо: выявить тенденцию развития каждого ряда, определить способы устранения тенденции для построения модели связи между уровнями денежных доходов и оборотов розничной торговли, построить линейную модель по первым разностям уровней временных рядов, построить модель путем включения в нее фактора времени.

Методика выполнения

1. Для выявления общего характера тенденции и взаимосвязи временных рядов используется их графическое изображение. На графике по оси абсцисс фиксируется фактор времени, а по оси ординат среднедушевые денежные доходы (х) и оборот розничной торговли на душу населения (у).

у

х

Рисунок 5. ……………….

Общий характер тенденции временных рядов определяется также по изменению приростов анализируемых факторов (табл.13). При общей тенденции к росту временных рядов для построения регрессионной модели следует избавиться от ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Все методы исключения тенденции сводятся к тому, чтобы исключить или зафиксировать воздействие фактора времени на исходные уровни ряда.

Для этого используются:

- метод последовательных разностей, если временные ряды характеризуют ся линейной тенденцией, т.е. Δу = f (Δх);

- или построение модели по отклонениям от тренда d_y = f (d_x), где d_{y =} y_t - ; d_x = x_t – – отклонение от тренда (для получения параметров тренда можно использовать прием расчета от условного нуля или по программе Excel);

• метод включения в модель фактора времени имеет преимущество по сравнению с предыдущими, так как позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, т.е. = f (x, t)

2. При устранении тенденции с использованием метода первых разностей берется модель вида: Δу = а + b · Δx.

Таблица 13 – Исходные данные для решения уравнений по первому варианту

Годы, t	y	x	Δy	Δx	Δy · Δx	Δ2x
1 2 . .

Для определения параметров уравнения применяется МНК, где система нормальных уравнений примет вид : ΣΔу = nа + b Δx

Σ Δу · Δx = а · ΣΔх + b ·Δ²х.

Подстановкой в систему уравнений исходных и расчетных данных определяются параметры уравнения, рассчитывается коэффициент корреляции временных рядов и коэффициент автокорреляции первого порядка (по методике в задании 6) , по которым проверяется наличие автокорреляции временных рядов. По полученным данным необходимо раскрыть экономическое содержание полученной модели.

3. Другой метод учета тенденции при построении модели – расчет по каждому ряду уравнения тренда d_y = f (d_x) и отклонение от него. И аналогично предыдущему методу строится модель по отклонениям от тренда: = a + b · d_x. Система нормальных уравнений записывается так:

Σd_y = n · a + bΣd_x

Σd_yd_x = a + Σd_x + b Σd²_x.

Таблица 14 – Исходные данные для решения уравнений по второму варианту

годы	уt	xt	ytxt	x2t	y2t			dy	dx	dydx
1 2 . .

4. При элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимую переменные используется метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени, которая имеет вид: = а + b · х + с · t.

Для расчета параметров уравнения регрессии используется обычный МНК. При этом система нормальных уравнений имеет вид:

Σу = n · a + b·Σx + c·Σt

Σy·x = a · Σx + b ·Σx² + c · Σx · t

Σy · t = a · Σt + b·Σx · t + c ·Σt².

Таблица 15 – Исходные данные для решения уравнений по третьему варианту

Годы, t	у	х	у·х	у·t	x·t	x2	t2
1 2 …

Полученные расчетные величины параметров записать в уравнение регрессии и раскрыть его экономическое содержание.

По всем вариантам решение может быть выполнено по компьютерным программам, позволяющим получить более широкий набор показателей для характеристики модели.

Задание 8. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках

По материалам предыдущего задания (7) оценить полученные модели взаимосвязи временных рядов о наличии автокорреляции в остатках и возможность их использования для прогнозирования. С этой целью необходимо: рассчитать теоретические значения результативного показателя ( ) и остатки по уровням временного ряда, построить график их зависимости от времени, определить критерий Дарбина – Уотсона, оценить полученный результат при 5% уровне значимости и оценить пригодность уравнения для прогноза.

Методика выполнения:

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков ε_t за текущий и предыдущие моменты времени. Для определения автокорреляции остатков используют два метода. Первый метод – построение графика зависимости остатков во времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона – «d». Для этого:

1. Определить теоретические значения по трем моделям предыдущего задания в табл.16 .

Таблица 16 – Расчет теоретических значений результативного признака « » временного ряда

Время t	Модель 1		Модель 2		Модель 3
	Δх	у	dх	у	a	b	c	x	t
1 2 3 … 8

2. Определить остатки ε_t по формуле ε _t = y _t – _t и ε _{t – 1}, та же величина ε_t но со сдвигом на один период времени. Результаты расчетов оформить в табл.17.

Таблица 17 – Исходные данные для расчета критерия Дарбина – Уотсона временных рядов.

t	t	εt	εt-1	εt – εt-1	(εt – εt-1)2	ε2t
1 2 … 8
Σ

3. По исходным значениям остатков определяется критерий Дарбина – Уотсона по формуле:

Σ (ε_t – ε _t-1)²

d = ——————

Σ ε²_t

4. Формулируется гипотеза «Н_о» об отсутствии автокорреляции остатков и альтернативные Н₁ и Н₂, соответственно, о наличии положительной и отрицательной автокорреляции в остатках.

5. По специальным таблицам (приложение 15) определяются критические значения критерия Дарбина – Уотсона (d₁ и d_u) для числа наблюдений «n», независимых переменных «к» и для уровня значимости – α.. По этим значениям числовой промежуток (0;4) разбивают на пять отрезков (рис. 6).

0 d_L d_u 4 - d_u 4 – d_l 4

r^ε=1 r^ε-1

Рисунок 6. Промежутки внутри интервала (0 – 4)

По полученным промежуткам внутри интервала (0 – 4) делается заключение о наличии и отсутствии автокорреляции в остатках. По таблицам значения критерия Дарбина – Уотсона определяется для числа наблюдений n=8 и числе независимых переменных К=1 критические значения d_L = 0,76 и d_u = 1,33.

6. Сравнивается фактическое значение «d» с верхним и нижним табличным значением критерия, принимается и отклоняется каждая из гипотез.

7. Дать заключение о возможности использования уравнений для прогноза и о причинах автокорреляции в остатках.

Контрольные вопросы по темам:

I Предмет и метод эконометрики.

1. Дайте определение эконометрики

2. Назовите особенности эконометрического метода

3. Каковы этапы эконометрического исследования?

4. Чем объясняется особая роль статистики в формировании экономет­рического метода?

5. Какие типы данных используются в эконометрическом исследова­нии? Какие возникают проблемы данных?

6. По каким типам шкал производятся измерения в эконометрике?

II Парная регрессия и корреляция.

1. Каковы источники ошибок спецификации модели?

2. Какими методами осуществляется выбор вида уравнения регрессии?

3. Назовите основные типы кривых, используемых для характеристики связи при парной регрессии.

4. Раскройте смысл коэффициента регрессии, назовите способы его оценивания

5. Что такое число степеней свободы, как оно определяется для фактор­ной и остаточной сумм квадратов?

6. Какова методика и познавательное значение F - критерия Фишера?

7. Как оценивается значимость параметров уравнения регрессии?

8. Запишите все виды моделей, нелинейных относительно:

• объясняющих переменных;

• оцениваемых параметров.

9. В чем отличие применения МНК к моделям нелинейным относи­тельно включаемых переменных и оцениваемых параметров?

10.Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей?

11.Назовите показатели корреляции, используемые при линейных и не­линейных соотношениях рассматриваемых признаков.

12.В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется?

III Множественная регрессия и корреляция.

1. Сущность и цель множественной регрессии.

2. Требования к отбору факторов.

1. Каковы основные формы уравнения множественной регрессии и ка­ково их экономическое содержание?

3. Сущность коллинеарности и мультиколлинеарности факторов.

4. Содержание методов устранения мультиколлинеарности.

2. Перечислите и раскройте содержание способов оценки параметров уравнения множественной регрессии.

3. С помощью каких коэффициентов можно оценить сравнительную си­лу воздействия факторов на результат?

5. Сущность частных уравнений регрессии.

6. Показатели тесноты связи для множественной регрессии.

10.Каково назначение частной корреляции при построении модели множественной корреляции?

I1.Как производится оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции?

12. Условие построения уравнения регрессии с фиктивными перемен­ными и их сущность.

13.Основные предпосылки МНК.

14. Как можно проверить наличие гомо - или гетероскедастичности?

15. В чем смысл обобщенного метода наименьших квадратов.