6.6. Емкость в цепи синусоидального тока

     Если к конденсатору емкостью C подключить синусоидальное напряжение, то в цепи протекает синусоидальный ток

;

.    (6.13)

      Из анализа выражений 6.13 следует, что ток опережает напряжение по фазе на 90^o.

      Выражение (6.13) в комплексной форме записи имеет вид:

,    (6.14)

       где   - емкостное сопротивление, фиктивная расчетная величина, имеющая размерность сопротивления.

        Если комплексное сопротивление индуктивности положительно         , то комплексное сопротивление емкости отрицательно          .

       На рис. 6.7 изображена векторная диаграмма цепи с емкостью.         Вектор тока опережает вектор напряжения на 90^o.

19. Представление синусоидальных функций в виде проекций вращающихся

векторов.   

Пусть в прямоугольной системе координат имеется вектор длиной I_m, расположенный под углом ψ к горизонтальной оси (рис. 2.5). Заставим этот вектор вращаться против часовой стрелки c угловой скоростью ω. Тогда за время t он повернется на угол ωt.

    Проекцию вектора на вертикальную ось обозначим i. Из треугольника oab она равна i=I_msin(ωt+ψ), т.е. представляет собой функцию, определяющую мгновенное значение тока. Таким образом, последняя может быть представлена как проекция на вертикальную ось вращающегося вектора. Изображение тока с помощью вектора называется его векторной диаграммой. Длина вектора может быть равна амплитудному I_m, либо действующему значению I.

    Обычно вектор при этом показывается не в произвольный момент времени t, а в начальный (t = 0), когда его угол наклона к горизонтальной оси равен начальной фазе.

    Теперь по уравнениям (2.3) построим векторную диаграмму двух векторов – тока и напряжения (рис. 2.6).

    Длины векторов равны действующим значениям, углы их наклона к горизонтальной оси – начальным фазам, а угол между векторами, равный разности начальных фаз ψ_u и ψ_i, в соответствии с уравнением (2.4) определяет сдвиг фаз напряжения и тока.

    Подчеркиваем, что на диаграмме стрелка, отмечающая угол φ, всегда направляется от вектора тока к вектору напряжения. Сейчас она направлена в положительном направлении – против часовой стрелки.

    Векторная диаграмма дает наглядное представление об отставании одних величин и опережении других. Если вращать картинку, показанную на рис. 2.6, против часовой стрелки, то вектор тока будет отставать от напряжения на угол φ. Так как при вращении длины векторов и угол между ними не меняются, то в том случае, когда начальные фазы напряжения и тока нас не интересуют, мы можем изображать диаграмму без осей и располагать ее так, как нам удобно (рис. 2.7)

20) Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Выражение закона Ома в комплексной форме имеют вид . Достоинство этих выражений заключается в том, что в них учитывается как связь между действующими током и напряжением, так и сдвиг фаз между ними.

1 закон Кирхгофа в применении к узлу цепи, для мгновенных токов имеющий вид ,в комплексной форме записываются в виде:

2 закон Кирхгофа в применении к контуру цепи, для мгновенных ЭДС и падений напряжений имеющий вид в комплексной форме записываются в виде .

22) . Векторная и топографическая диаграммы.

Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

Топографические диаграммы они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

23) . Мощности в цепях синусоидального тока.

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток.

Пусть мгновенные напряжение и ток определяются по формулам:

Тогда

Среднее значение мгновенной мощности за период

Из треугольника сопротивлений , а .

Получим еще одну формулу:

.

Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P.

Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.

Возьмем реактивный элемент (индуктивность или емкость). Активная мощность в этом элементе , так как напряжение и ток в индуктивности или емкости различаются по фазе на 90o. В реактивных элементах отсутствуют необратимые потери электрической энергии, не происходит нагрева элементов.

Происходит обратимый процесс в виде обмена электрической энергией между источником и приемником. Для качественной оценки интенсивности обмена энергией вводится понятие реактивной мощности Q.

Преобразуем выражение (6.23):

где - мгновенная мощность в активном сопротивлении;

- мгновенная мощность в реактивном элементе (в индуктивности или в емкости).

Максимальное или амплитудное значение мощности p2 называется реактивной мощностью

где x - реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное).

Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных, расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.

Амплитудное значение суммарной мощности p = p1 + p2 называется полной мощностью.

Полная мощность, измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

где z - полное сопротивление цепи.

Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии. В электрической цепи можно использовать часть полной мощности

где - коэффициент мощности или "косинус "фи".

Коэффициент мощности является одной из важнейших характеристик электротехнических устройств. Принимают специальные меры к увеличению коэффициента мощности.

Возьмем треугольник сопротивлений и умножим его стороны на квадрат тока в цепи. Получим подобный треугольник мощностей (рис. 6.18).

Из треугольника мощностей получим ряд формул:

, ,

, .

При анализе электрических цепей символическим методом используют выражение комплексной мощности, равное произведению комплексного напряжения на сопряженный комплекс тока.

Для цепи, имеющей индуктивный характер (R-L цепи)

где

- комплекс напряжения;

- комплекс тока;

- сопряженный комплекс тока;

- сдвиг по фазе между напряжением и током.

, ток как в R-L цепи, напряжение опережает по фазе ток.

Вещественной частью полной комплексной мощности является активная мощность.

Мнимой частью комплексной мощности - реактивная мощность.

Для цепи, имеющей емкостной характер (R-С цепи), . Ток опережает по фазе напряжение.

Активная мощность всегда положительна. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, - положительна, а в цепи с емкостным характером - отрицательна.

24) . Баланс мощностей

Для схемы запишем уравнение по второму закону Кирхгофа. Умножим левую и правую части уравнения на сопряженный комплекс тока

где - результирующее реактивное сопротивление;

I2- квадрат модуля тока.

где - полная комплексная, активная и реактивная мощности источника питания.

где - активная и реактивная мощности, потребляемые элементами схемы.

Получим уравнение

Два комплексных числа равны, если равны по отдельности их вещественные и мнимые части, следовательно уравнение (6.24) распадается на два:

. (6.25)

Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реактивных мощностей.

27) ) Резонанс напряжений Условием возникновения резонанса напряжений в последовательном RLC - контуре является равенство реактивных сопротивлений катушки и конденсатора. При X_L=X_C, wL=1/wC  значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и на емкости равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

28) Частотные характеристики.

Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, т. е. вынужденные синусоидальные колебания рассматриваемой системы при гармоническом входном сигнале.

29) Резонанс токов.

Резонанс токов При резонансе общий ток в параллельном контуре по фазе совпадает с приложенным напряжением. Такую цепь часто называют параллельным контуром. Условием возникновения резонанса является равенство реактивных проводимостей: b_L=-b_c. b=x/R²+x²