14. Теорема о вложенных промежутках.

Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Док-во. Как следует из системы неравенств аn≤ аn+1 < bn+1 ≤ bn , левые концы отрезков образуют неубывающую последовательность а1≤а2≤а3≤…≤ аn≤…(*), тогда как правые концы – невозрастающую последовательность b1≥b2≥b3≥…≥ bn ≥…(**) . Последовательность (*) ограничена сверху, так как аn≤ b1 для всех n. Последовательность (**) ограничена снизу, так как bn≤а1 для всех n. В силу теоремы (е= lim(1+1\n)^n ( n->∞) эти последовательности являются сходящимися. Пусть lim аn=c1 (n->∞), a lim bn =c2 ( n->∞). Тогда по условию Lim (bn – аn) =0 ( n->∞) (***) получаем, что lim bn - lim аn = с2-с1=0, оттуда следует с1=с2, т.е. последовательности (*) и (**) имеют общий предел. Обозначим его буквой с; т.о. для любого n справедливы неравенства аn ≤ с ≤ bn. Это означает, что точка с принадлежит всем отрезкам последовательности аn≤ аn+1 < bn+1 ≤ bn.

Покажем, что общая точка с является единственной.. Допустим обратное, т.е. что существует еще одна такая точка c' (c≠c’). Но тогда для всех n должны выполнятся неравенства bn – аn ≥ │с-с'│, а значит , lim bn – аn ≥ │с-с'│>0, что противоречит условию(***). Т,Д,

Замечание: Теорема становится неверной, если вместо отрезков взять систему интервалов.

14. Понятие функции и способы ее задания.

Если для любого элемента хХ поставлен в соответствие по закону f единственный элемент уУ, то на множестве Х задана функция y=f (x), причем х – независимая переменная (аргумент), все значения х – область определения функции D (f); совокупность всех значений функции f (x) – область значений функции Е(f).

Функцию, D(f) и E(f) которой являются числовые множества, называют числовой функцией одной действительной переменной.

Графиком функции f(x) является множество точек плоскости, абсцисса которых равна аргументу, а ордината равна значению функции.

Графиком числовой функции f, заданной на числовом промежутке Х, называется множество G всех точек координатной плоскости, имеющих вид М(х; f(х)), где хХ, т.е. {(х; у): у=f(х); хХ}.

Функция задана аналитически, если закон, устанавливающий соответствие между множествами всех значений аргумента и функции, задается формулой.

Преимущества: сжатость, компактность задания, можно вычислить значение функции для любого значения аргумента из области определения, можно применить к данной функции аппарат мат анализа.

Табличный способ задания заключается в задании таблицы определенных значений аргумента и соответствующих им значений функции.

При графическом способе задания функции соответствие между аргументом и функцией задается посредствам графика.

Преимущества: наглядность, что делает его чрезвычайно полезным при изучении функции.

Пусть заданы две функции y = f(x) и z = F(y), при чем D(F)E(f), тогда для любого хХ соответствует zZ, где z = F(y), y = f(x), значит z=F(f(x)). Эта функция, определяемая соответствием называется сложной функцией или суперпозицией функций f и F.

Всякая функция, которая задана явным образом с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций называется элементарной функцией. D(f) = R для основных элементарных функций, при которых данная функция имеет смысл; E(f) - тоже вещественные числа.

Классификация функций. Это основные элементарные функции.

1. Степенная: у =х^c.

2. Показательная: у = a^x.

3. Логарифмическая: у = logax.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрическим.

6. y = const.

1)Многочлены (полиномы): Р(Х)=А0+А1*Х+А2*X^2+ …+Аn*X^n

2)Рациональные R(x) =P9X)\Q(x), P(x) и Q(x) – многочлены.

3) Алгебраические, которые заданы с помощью суперпозиции рациональных функций, степенных с иррациональным показателем и арифметических действий.

4) Трансцендентные –элементарные функции, которые не являются алгебраическими. Все тригонометрические, обратные им, показательная, логарифмическая.