13. О трех последовательностях

Даны три последовательности {Xn}, {Yn} и {Zn}, причем для любого элемента последовательности выполняется неравенство XnYnZn, кроме того limXn=limZn=A, тогда limYn=А.( n)

Док-во: Выберем , так как limXn= A, то () (N1) (n>N1): |Xn – A|<. А так как limZn=A, то () (N2) (n>N2): |Zn – A|<.

N=max{N1,N2}, то (n>N): |Xn – A|< и |Zn – A|<.

A - <Xn<A+ и A - <Zn<A+  n: XnYnZn  A - <XnYnZn <A+  A - <Yn<A+  |Yn – A|<  () (N=max{N1,N2}) (n>N): |Yn – A|<  limYn=А.

14. Монотонные последовательности.

Последовательность {Xn} – возрастающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn<Xn+1.

Последовательность {Xn} – невозрастающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство XnXn+1.

Последовательность {Xn} – неубывающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство XnXn+1.

Последовательность {Xn} – убывающая, если для любого члена последовательности выполняется неравенство Xn>Xn+1.

Все монотонные последовательности ограничены хотя бы с одной стороны.

ТЕОР: О сходимости монотонной последовательности.

Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Любая неубывающая последовательность, ограниченная сверху, - сходящаяся.

Любая невозрастающая последовательность, ограниченная снизу, - сходящаяся.

Док-во: (для неубывающей) Для XnXn+1 для n. Так как последовательность ограничена, то существует число А такое, что выполняется неравенство XnА для n. Рассмотрим множество Х, состоящее из элементов последовательности {Xn}. По условию это множество ограничено сверху и не пусто.  Множество Х имеет точную верхнюю грань. Обозначим ее через А и докажем, что А – предел {Xn}.

Так как А – точная верхняя грань множества Х, то для  найдется номер N такой, что XN >A - . Так как последовательность {Xn} неубывающая, то при n>N имеем Xn>A - . С другой стороны, XnA<A+ для n. Т. о., при n>N получаем неравенство A - <Xn<A+, т. е. |Xn – A|<  при n>N.  А – предел последовательности {Xn}.

ЗАМ: ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходящейся последовательности.

14. Число е.

ТЕОР: Рассмотрим последовательность Xn=(1+1\n)^n и докажем, что эта последовательность сходящаяся и ее предел равен е.

Док-во: Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная сверху.

1. Докажем, что последовательность {Xn} возрастающая, т. е. для n Xn<Xn+1.

(1+1/n) разложим по формуле бинома Ньютона.

Xn = (1+1/n) = 1+(n/1!) (1/n)+(n (n – 1)/2!) (1/n )+(n (n – 1) (n – 2)/3!) (1/n )+K+(n (n – 1) (n – 2)) K(n – (n – 1))/n!) (1/n ) = 2+(1/2!) (1 – 1/n)+(1/3!) (1 – 1/n) (1 – 2/n)+K+(1/n!) (1 – 1/n) (1 – 2/n) K(1 – (n – 1)/n)

Аналогично для Xn+1. Для любого 0<k<n выполняется соотношение (1 – 1/k)<(1 – 1/(k+1)).  Ввыражении для Xn+1 каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для Xn.  Xn< Xn+1 для любого n.  {Xn} – возрастающая последовательность.

2. Докажем, что последовательность {Xn} – ограничена сверху. Рассмотрим выражение для Xn. Так как 1/k!<1/2^(k-1) при k>2, то Xn<2+1/2!+1/3!+…+1/n!<1+1+1/2+1/4+1/8+…+1/2^(n-1)=1+(1 – 1\2^n)/(1 – 1/2) = 1+2(1 – 1\2^n) = 3 – 1\2^(n-1)<3.  Для n 2<Xn<3 и последовательность {Xn} ограничена сверху. По Т о мон огр последовательности она является сходящейся. Ее предел на бесконечности Эйлер обозначил через е. lim(1+1\n)^n=e (n->∞)

Число е – иррациональное, это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа называются трансцендентными.