10. О единственности предела сходящейся последовательности.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Док-во: Пп: т. е. что числа A и B – пределы сходящейся последовательности {Xn} и AB. Тогда получим Xn=A+n и Xn = B+n, где {n} и {n} – бесконечно малые последовательности. Получим из последних двух равенств, что n - n=B – A. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {n - n} равны одному числу B – A, то по лемме B – A=0, т. е. В=А.

11.Алгебраическая сумма, произведение, частное сходящихся последовательностей.

Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {Xn} и {Yn}, lim(Xn  Yn) = limXn  limYn. ( n)

Док-во: Пусть А и В - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+n, Yn=B+n, где {n}, {n} – бесконечно малые последовательности.  (Xn  Yn) = (A+n) (B+n), (Xn  Yn) - (A  B) = n  n. Последовательность {Xn  Yn} – бесконечно малая. Т. о., последовательность {(Xn  Yn) - (A  B)} тоже бесконечно малая  последовательность {(Xn  Yn)} сходится и имеет предел равный A  B.

Произведение сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} – есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {Xn} и {Yn}, lim(Xn*Yn)=limXn*limYn.( n)

Док-во: Пусть А и В - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+n, Yn=B+n, где {n}, {n} – бесконечно малые последовательности.  XnYn - AB = An +Bn +n n. Последовательность {An +Bn +n n} - бесконечно малая.  {XnYn - AB} - тоже бесконечно малая последовательность  {XnYn} сходится и имеет предел равный AB.

Частное двух сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn}, при условии, что limYn0 (n)

• есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов {Xn} и {Yn}.

Док-во: Пусть А и В (В) - пределы последовательностей {Xn} и {Yn}. По формуле Xn = A+n, Yn=B+n, где {n}, {n} – бесконечно малые последовательности.  Хn\Yn-a\b=(b(a+n)-a(b+n))\bYn=1\Yn(n-(an)\b)

Последовательность {n – a\bn} – бесконечно малая.

Так как предел последовательности Yn равен В, то для =|B|/2 найдется номер N , что n>N выполняется неравенство |Yn|=|B-(B-Yn)||B|-|Yn-B|>|B|-|B|/2=|B|/2, т. е. |Yn|>|B|/2.  |1/Yn|<2/|B| для n>N. Выберем A=max{2/|B|, |Y1|, |Y2|, K|Yn|}. Очевидно, что |1/Yn|A для n  последовательность {1/Yn} – ограничена.  {1/Yn(n – A/B)} – последовательность бесконечно малая  последовательность {Xn/Yn – A/B} – бесконечно малая.  последовательность {Xn/Yn} сходится и имеет предел А/В. Так как предел последовательности {Yn} не равен 0, то элементы Yn, начиная с номера N, не обращаются в 0  частное {Xn/Yn} определено для n>N.

12. Предельный переход в неравенствах.

Если элементы сходящейся последовательности {Xn} начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству XnB (XnB), то и предел А этой последовательности удовлетворяет неравенству AB (AB).

Док-во: Пусть все элементы {Xn} начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству XnB. Докажем, что АВ. Пп: что A<B. Так как предел Xn равен А, то для =В-А0 существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |Xn – A| < B – A. Оно равносильно неравенству -B + A < Xn – A < B – A. Из правого неравенства получаем: Xn<B при n>N, что противоречит условию.  АВ.

СЛЕД: 1.Если элементы сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn} начиная с номера, удовлетворяют неравенству XnYn (XnYn), то limXn limYn (limXnlimYn).( n)

3. Если все элементы сходящейся последовательности {Xn} находятся на отрезке [A,B], то предел последовательности - число С[A,B].