8. Свойства бесконечно малых последовательностей.

ТЕОР: Произведение двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {n} и {n} – б. м. последовательности. Так как последовательность {n} бесконечно малая, то для >0 существует номер N1, такой, что |n|< для всех n>N1. А так как {n} бесконечно малая последовательность, то для =1 существует номер N2 такой, что |n|<1 при всех n>N2. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно  при всех n>N |n*n|=|n|*|n|<*1=. Это означает, что последовательность {n*n}является бесконечно малой.

СЛЕД1: Произведение конечного числа б.м. последовательностей – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {n} и {n} бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность {n+n} бесконечно малая. Пусть  – произвольное положительное число, N1 – номер, начиная с которого выполняется неравенство |n|</2, а N2 - номер, начиная с которого выполняется неравенство |n|</2. Такие номера N1 и N2 существуют по определению бесконечно малой последовательности. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно  при всех n>N |n±n|≤|n|+|n|</2+/2=. Это означает, что последовательность {n+n}является бесконечно малой.

СЛЕД2: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР3: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {Xn} - ограниченная последовательность, а {n} – б. м. последовательность. Так как последовательность {Xn} ограничена, то существует число А>0, такое, что для любого элемента Xn выполняется неравенство |Xn|<A. Возьмем >0. Так как {n} бесконечно малая последовательность, то для положительного числа /A существует номер N, такой, что |n|</A  при всех n>N имеем |n*Xn|<A*/A=. А это означает, что последовательность {n*Xn} является бесконечно малой.

ЗАМ: Частное двух бесконечно малых последовательностей - не всегда последовательность бесконечно малая, она может быть бесконечно малой, бесконечно большой и ограниченной.

9. Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.

Число А – предел последовательности {Xn}, если для любого числа >0, каким бы малым оно не было, существует номер N, зависящий от , такой, что при всех n>N выполняется неравенство |Xn-A|< .

А=limXn (>0)(N=N ())(n>N):|Xn-A|< ( n)

Последовательность, имеющая предел – сходящаяся последовательность.

Если последовательность не является сходящейся, то не существует и ее предела или он бесконечен –последовательность расходящаяся.

ЗАМ: пусть предел последовательности {Xn} равен А, тогда последовательность {n} ={Xn-A} – бесконечно малая.

Верно и обратное: если последовательность {Xn-A} – бесконечно малая, то ее предел равен А.

Если предел последовательности n равен 0, n –последовательность бесконечно малая.

Предел бесконечно большой последовательности равен бесконечности.