- •Множества. Операции над множествами.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •8. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •10. О единственности предела сходящейся последовательности.
- •11.Алгебраическая сумма, произведение, частное сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •13. О трех последовательностях
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Предел функции в точке.
- •19.Предел функции на бесконечности (по Гейне и по Коши).
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •25. Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •Точная верхняя (нижняя) грани функции.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •38. Теорема о связи диффер. И существовании пр-ной.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции. Связь между ними.
- •42. Свойства бесконечно малых функций.
- •43. Правила сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •58.Формула Тейлора.
- •I достаточное условие экстремума.
- •60. II достаточное условие экстремума.
- •61. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •62. Направление выпуклости функции. Точки перегиба графика функции.
- •63.Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Производные сложных функций.
60. II достаточное условие экстремума.
ТЕОР: Пусть функция f(x) имеет в данной стационарной точке C конечную производную. Тогда функция f(x) имеет в точке C локальный максимум, если f ’’(x) < 0 и локальный минимум, если f’’(x) > 0.
Док-во: (для максимума)
Рассмотрим функцию f ’(x). Так как C стационарная точка, то f ’(C) = 0. Так как f ’’(C) < 0, т. е. (f ’(x))’ < 0, то (из достаточного условия возрастания и убывания функции в точке), что f ’(x) убывает в точке C. График функции f ’(x) имеет вид. Тогда существует такая окрестность точки, в пределах которой f ’(x) слева от точки C и f ’(x) справа от точки C. Но тогда выполняется первое достаточное условие экстремума, и функция f(x) имеет в точке C локальный максимум. (Минимум аналогично).
61. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
Пусть функция y = f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением может быть самой точки с, тогда если в пределах указанной окрестности f’(x)<0 справа от точки с, то функция y=f(x) имеет в точке с локальный максимум. Если f'(x)<0 слева от точки с и f'(x)>0, то функция имеет в точке с локальный минимум. Если же f'(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет. Доказательства совпадают с доказательством I достаточного условия экстремума.
Замечание:
62. Направление выпуклости функции. Точки перегиба графика функции.
Будем говорить, что график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).
ТЕОР: Если функция Y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f ’’(x) 0 (f ’’(x) 0)во всех точках (a, b), то график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Док-во: Докажем для f ’’(x) 0 для x(a, b). Пусть X0 - точка (a, b). Докажем, что график функции Y=f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку M(X0, f(X0)). Уравнение касательной имеет вид Y=f(X0) + f ’(X0) (x - X0), где Y – текущая ордината касательной. Разложим функцию Y=f(x) в ряд Тейлора для n=1. Получим y =f(x) =f(X0) + (f ’(X0)/1!) (x - X0) + (f ’’()/2!) (x - X0), где (X0, x). Вычитая полученные равенства, имеем y – Y=(f ’’()/2!) (x - X0)^2. Так как f ’’() 0 по условию, то (f ’’()/2!) (x - X0)^2 0 для x(a, b) y – Y 0 y Y для x(a, b). А это означает, что всюду на (a, b) график функции лежит не ниже касательной, проведенной через точку M(X0, f(X0)).
ОПР: Точка M(X0, f(X0)) называется точкой перегиба графика функции Y=f(x), если в точке M график имеет касательную, и существует такая окрестность точки X0, в пределах которой график функции Y=f(x) слева и справа от точки X0 имеет разные направления выпуклости.
63.Необходимое условие точки перегиба.
ТЕОР: Пусть график функции Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)) и пусть функция Y=f(x) имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f ’’(x) в точке обращается в 0, т. е. f ’’(x)=0.
Док-во: ПП: что f ’’(X0) 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки X0, в которой f ’’(X0) < 0 (f ’’(X0) > 0), и значит (по Т о направлении выпуклости) график функции Y=f(x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(X0, f(X0)). Это и доказывает теорему.