58.Формула Тейлора.

Теорема. Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х – любое значение из этой окрестности, х ≠ а. Тогда между точками а их найдется точка ξ, такая, что справедлива следующая формула.: f(x)=f(a)+(f”(a)\1!*(x-a))+(f’’(a)\2!)*(x-a)^2+...+(f^n(a)\n!)*(x-a)^n+(f^(n+1)( ξ))\(n+1)!))*(x-a)^(n+1). (1)

Док-во: Обозначим через φ(х,а) многочлен степени n относительно х в правой части формулы (1): φ(х,а) )=f(a)+(f”(a)\1!*(x-a))+(f’’(a)\2!)*(x-a)^2+...+(f^n(a)\n!)*(x-a)^n+(f^(n+1)( ξ))\(n+1)!))*(x-a)^(n+1). Он называется многочленом Тейлора степени n для функции f(x). Обозначим через C разность Rn+1(х)= f(x) - φ(х,а). Доказательство теоремы заключается в установлении формулы Rn+1(х)= (f^(n+1)( ξ) \ (n+1)!)*(x-a)^(n+1). Фиксируем любое значение х из указанной окрестности точки а. Пусть для определенности x>a. Обозначим через t переменную величину a≤t≤x и рассмотрим на отрезке [а,х ] вспомогательную функцию F(x)=F(x)- φ(х,t)-((x-t)^(n+1)* Rn+1(х))\(x-a)^(n+1) (2). Функция F(х) удовлетворяет на отрезке [а,х] всем условиям теоремы Роля:

А) из формулы (2) и условий теоремы на функцию f(x) следует, что F(t) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,x];

Б) F(a)=f(x)- φ(х,а)- Rn+1(х)= Rn+1(х)- Rn+1(х)=0, F(x)=f(x)- φ(х,x) – ((x-x)^(n+1)* Rn+1(х))\(x-a)^(n+1)=0, поскольку φ(х,x) = f(x). Т.о., на концах отрезка [a,x] функция F(t) принимает одинаковые значения, и в силу теоремы Роля существует точка ξ (а< ξ <x), такая что F’(ξ)=0 (3). Найдем производную F»(t), для чего дифференцируем равенство (2): F’(t)=-f’(t)+f’(t)+(f’’(t)\1!)*(x-t)-(f’’(t)\1!)*(x-t)+(f’’(t)\2!)*(x-t)^2-…+(f^n(t)\n!)*n(x-t)^(n-1)-(f^(n+1)(t)\n!)*(x-t)^n+((n+1)(x-t)^n* Rn+1(х))\(x-a)^(n+1).Легко видеть, что все слогаемые в правой части этого равентва, кроме 2х последних, взаимно уничтожаются. =>, F'(t)=(f^(n+1)(t)\n!)*(x-t)^n+(((n+1)(x-t)^N)\(x-a)^(n+1))* Rn+1(х). Наконец, при t= ξ согласно условию (3) получаем выражение для Rn+1(х): Rn+1(х)= (f^(n+1)( ξ)\(n+1)!)*(x-a)^(n+1).(4) Т.Д.

Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение (4)

- остаточным членом в форме Лагранжа. Так как точка ξ € (а,х), ξ = a+Θ(х-а), где 0<Θ<1; тгда остаточный член можно записать в виде: Rn+1(х)=(f^(n+1)[a+ Θ(х-а)]\(n+1)!)(x-a)^(n+1), 0<Θ<1. Предроложим, что функция f^(n+1)(x) ограничена в окрестности точки а, тогда остаточный член Rn+1(х) является бмф при x->а более высокого порядка, чем (x-a)^n. Действительно в этом случае в силу теоремы о произведении бмф на ограниченную имеем: lim Rn+1(х)\(x-a)^n (x->a)=lim (f^(n+1)( ξ)\(n+1)!)(x-a) (x->a)=0, поскольку первый сомнжитель предела ограничен, а второй-бмф при х->а. т.о., остаточный член Rn+1(х) можно переписать в форме: Rn+1(х)=о[(x-a)^n] при х->а (5). Формула (5) представляет собой остаточный член в форме Пеано.

59. I достаточное условие экстремума.

Точки, в которых производная функции Y=f(x) равна 0, называются стационарными точками. Каждая стационарная точка – точка возможного экстремума.

ТЕОР: Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой  – окрестности точки С. Тогда, если f ’(x)>0 (f ’(x)<0) для x(С - ; С) и f ’(x)<0 (f ’(x)>0) для x(С; С + ), то в точке С функция f(x) имеет локальный максимум (минимум), если же f ’(x) во всей  – окрестности точки С имеет один и тот же знак, то в точке С локального экстремума нет.

Док-во: 1) Пуcть f ’(x) при переходе через точку С меняет знак с “ + ” на “ - ” и пусть Хо(С - ; С). Применим формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [Хо, С]. Получаем f(С) – f(Хо) = f ’(ξ)  (С - Хо), где ξ(Хо, С). Так как f ’(х) >0 на (С - ; С), то f ’(ξ) >0, и, кроме того, С – Хо >0  f(С) - f(Хо) >0 или f(С) >f(Хо).

2) Рассмотрим теперь случай, когда x(X0; X0 + ). Применим формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [С, Хо]. Получаем f(Хо) – f(С) = f ’(ξ)  (Хо - С), где ξ(С, Хо). Так как f ’(x)< 0 на (С; С+ ), то f ’(ξ)< 0, и, кроме того, С – Хо < 0  f(Хо) - f(С) < 0 или f(С) >f(Хо). Из неравенств следует, что в рассматриваемой окрестности точки С выполняется неравенство f(С) >f(Хо) при С  Хо, а это означает, что в точке С функция f(x) имеет локальный максимум. (Минимум аналогично)

3) Случай, когда знак не меняется. Пусть f ’(x) >0 в некоторой окрестности (С - ; С + ); тогда (по Т. о монотонности ф-ии) функция f(x) возрастает на (С - ; С + ), т. е. для x< С выполняется неравенство f(С) >f(x), а для x >С f(С)< f(x). Это означает, что точка не является точкой локального экстремума. (Можно проверить как в 1) и 2)).