3. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.

ТЕОР: О существовании точной верхней грани.

Пусть Х не пустое, ограниченное сверху множество, тогда оно имеет точную верхнюю грань.

Док–во: Множество У, ограничивающих сверху множество Х, т. е. У – множество верхних граней множества Х (хХ) (с): хс. По свойству непрерывности (хХ) (уУ): хсу. Так как хс  с – ограничивает множество Х; так как су  с – наименьшее из таких чисел, т. е. является точной верхней гранью множества Х.

ТЕОР: О существовании точной нижней грани.

Пусть Х не пустое, ограниченное снизу множество, тогда оно имеет точную нижнюю грань.

Док–во: Множество У, ограничивающих снизу множество Х, т. е. У – множество нижних граней множества Х (хХ) (с): хс. По свойству непрерывности (хХ) (уУ): хсу. Так как хс  с – ограничивает множество Х; так как су  с – наибольшее из таких чисел, т. е. является точной нижней гранью множества Х.

4. Открытые, замкнутые множества, компактность множества, отображение.

Точка хХ называется внутренней точкой этого множества, если >0, такое, что -окрестность точки х также  Х.

Множество Х называется открытым, если любая его точка является внутренней.

Множество Х называется замкнутым, если дополнение этого множества является множеством открытым.

Мноежество Х называется компактным, если оно является замкнутым и ограниченным.

Пусть даны множества Х и У. Если каждому хХ по некоторому закону f поставлен в соответствие элемент уУ, то на множестве Х задано отображение множества У.

5. Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.

Если для любого n  N поставлена в соответствие по закону вещественное число Xn, множество Х1, Х2, Х3,…, Хn,… - числовая последовательность или последовательность. Числа Х1, Х2,…, Хn,… - элементы последовательности, Xn - общий член последовательности, n - его номер. Последовательность содержит бесконечное число элементов, любые два элемента отличаются хотя бы номерами, геометрически изображается точками на прямой и координаты равны значениям элементов.

Способы задания.

Аналитический – с помощью формулы.

Алгоритмический – с помощью описания.

Произведение последовательности на число {Xn}*m – последовательность {m*Xn}.

Сумма двух последовательностей {Xn}+{Yn} – последовательность суммы {Xn+Yn}.

Разность двух последовательностей {Xn}-{Yn} – последовательность разности

{Xn-Yn}.

Произведение двух последовательностей {Xn}*{Yn} – последовательность произведения {Xn*Yn}.

Частное двух последовательностей {Xn}/{Yn} – последовательность частного {Xn/Yn}.

5. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {Xn} ограничена сверху, если cуществует точка М такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство XnM. (M)(Xn): XnM

Последовательность {Xn} ограничена снизу, если существует точка m такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство XnM. (m)(Xn): Xnm

Последовательность {Xn} ограничена, если существуют точки М и m такие, что для любого члена последовательности выполняется неравенство mXnM.

(M, m)(Xn): mXnM

Последовательность {Xn} ограничена, если существуют точка А=max (|m|, |M|) такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство |Xn|A. (A>0)(Xn): |Xn|A

Последовательность {Xn} неограниченна, если для любой точки А>0, найдется хотя бы один элемент последовательности удовлетворяет неравенству |Xn|>A. (A>0)(Xn): |Xn|>A