- •Множества. Операции над множествами.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •8. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •10. О единственности предела сходящейся последовательности.
- •11.Алгебраическая сумма, произведение, частное сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •13. О трех последовательностях
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Предел функции в точке.
- •19.Предел функции на бесконечности (по Гейне и по Коши).
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •25. Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •Точная верхняя (нижняя) грани функции.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •38. Теорема о связи диффер. И существовании пр-ной.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции. Связь между ними.
- •42. Свойства бесконечно малых функций.
- •43. Правила сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •58.Формула Тейлора.
- •I достаточное условие экстремума.
- •60. II достаточное условие экстремума.
- •61. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •62. Направление выпуклости функции. Точки перегиба графика функции.
- •63.Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Производные сложных функций.
Теорема о производной обратной функции.
ТЕОР: Если функция Y=f(x) имеет в точке X0 производную f ’(X0) 0, то обратная функция X= (y) также имеет в соответствующей точке Y0 = f(X0) производную, причем ’(Y0) = 1/ f ’(X0).
Док-во: Дадим аргументу Y обратной функции X= (y) некоторое приращение Y0. Функция X=(y) получит некоторое приращение X, причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции X0. X /Y=1/(Y/Х) Перейдем в этом равенстве к пределу при Y0. Так как обратная функция X= (y) непрерывна в точке Y, то X0 при Y0. Но при X0 предел правой части равенства существует и равен 1/f ’(X0). Существует предел и левой части, который по определению равен ’(Y0). Т. о. получаем ’(Y0) = 1/ f ’(X0).
Производные обратных функций.
ТЕОР1: Производная функции Y=a^x (0<a1) выражается формулой Y’ = a^x ln a.
Док-во: Показательная функция Y=a^x является обратной для логарифмической функции X=logaY. Так как X’(y) = (1/y) logae, то (по Т о производной обрат Ф) из соотношения logab=1/logaa получим Y’(x)=1/X’(Y)=Y/ logae= a^x ln a.
СЛЕД: Если Y=е^x, то Y’ = е^x.
ТЕОР: Производная функции Y=arcsin X выражается формулой Y’=1/(1-x^2)^1\2 (|X|<1).
Док-во: Так как функция Y=arcsin X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функции X=sin Y, определенной в интервале -/2<Y</2 и для функции X=sin Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arcsin X дифференцируема в любой точке X=sin Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arcsin X)’=1/(sinY)’=1/cosY=1/(1-sin^2y)^1\2. Перед корнем поставим знак “+” в силу того, что cosY положителен на интервале -/2<Y</2. Учитывая, что X=sin Y, окончательно получаем (arcsin X)’=1/(1-x^2)^1\2.
ТЕОР: Производная функции Y=arccos X выражается формулой Y’= -1/(1-x^2)^1\2.
Док-во: Так как функция Y=arccos X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функции X=cos Y, определенной в интервале 0<Y< и для функции X=cos Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arccos X дифференцируема в любой точке X=cos Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arccos X)’=1/(cosY)’= -1/sinY= -1/(1-cos^2y)^1\2. Перед корнем поставим знак “ - ” в силу того, что cosY положителен на интервале 0<Y<. Учитывая, что X=cos Y, окончательно получаем (arccos X)’= - 1/(1-x^2)^1\2.
ТЕОР: Производная функции Y=arctg X выражается формулой Y’=1/(1+x^2).
Док-во: Так как функция Y=arctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции X=tg Y определенной на интервале -/2<Y</2, и для функции X=tg Y в окрестности каждой точки интервала -/2<Y</2 выполнены все условия теоремы, то функция Y=arctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке X=tg Y и для ее производной справедлива следующая формула (arctg X)’=1/(tg Y)’=1/(1/cos^2Y)= cos^2Y=1/(1+tg^2Y)= 1/(1+x^2).
ТЕОР: Производная функции Y=arcctg X выражается формулой Y’= -1/(1+x^2).
Док-во: Так как функция Y=arcctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции Y=ctg X определенной на интервале 0<Y<, и для функции Y=ctg X в окрестности каждой точки интервала 0<Y< выполнены все условия теоремы, то функция Y=arcctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке и для ее производной справедлива следующая формула
(arcctg X)’=1/(ctg Y)’=1/( -1/sin^2Y)= -sin^2Y= -1/(1+ctg^2Y)= -1/(1+x^2).