39. 42. Свойства бесконечно малых функций.

Теорема. Алгебраическая сумма и произвеение конечного числа бмф в точке а, как и произведение бм на ограниченную функцию, являются бмф в точке а. (Док-во из теорем о сумме и разности 2х бм последовательностей и произведении бм последовательности на ограниченную).

Замечание: честное двух бмф не всегда яфляется функцией бм, она может быть и бб, и ограниченной.

43. Правила сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Пусть αх, βх- бмф в точке х= а, функции, заданные для одних и тех же значений аргумента, тогда если:

1. lim αх\βх=0 (x->a), то αх- бм более высокого порядка, чем βх. αх быстрее приближается к 0, чем βх. αх = х^2 в точке х0 –бм, βх = х в точке х0 –бм. lim αх\βх=limx^2\x=0 (x->0)

2. если lim αх\βх= A (x->a), A≠0, то αх и βх – бм 1го порядка.

3. если lim αх\βх=1 (x->a), то функции αх, βх являются эквивалентными бм (αх~βх)

Свойства:

Если αх и βх – бм функции в точке х = А, то функция αх=βх имеет более высокий понядок малости, чем каждый из сомножителей.

Lim αхβх\αх = 0 b lim αхβх\βх = 0 (x->a), т.е αхβх=0(αх) и αхβх=0(βх), если αх~ α1х в точке х=а, βх~ β1х в точке х=а и существует lim αх\βх, то существует lim α1х\β1х (x->a)

Справедлива формула im αх\βх = lim α1х\β1х (x->a).

44. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.

ТЕОР: Если функции u=U(x), v=V(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: (uv)’=u’v’; (uv)’=u’v+v’u; (u\v)’=(u’v-uv’)\v^2.

Д ок-во: Воспользуемся определением производной, равенством f(x+X)=f(x)+ Y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного.

(uv)’=lim ([u(x+X)  v(x+X)] – [u(x)  v(x)])\ X = lim ( u(x+X) –u(x)  v(x+X) – v(x))\ X =

= lim( u(x+X) –u(x)  lim v(x+X) – v(x) )\ X = lim ( (u /X)  lim (v /X) = u’  v’ (X->0)

(uv)’= lim (u(x+X) v(x+X) – u(x) v(x))\ X = lim( (u(x)+ u)  (v(x)+v) - u(x) v(x) )\ X =

lim (u(x) v(x) + u v(x) + v u(x) + u v - u(x) v(x))\ X =lim ([v(x) (u /X) +u(x) (v /X) +v(u/X)] = v lim (u /X) + u lim (v /X) + lim v  lim (u/X) = v  u’ + u  v’ + 0  u’ = u’  v+ u  v’ (X->0)

(u / v)’=lim [u(x) + u] / [v(x)+v] – [u(x) / v(x)]\ X =lim (u(x+X)  v(x) – u(x)  v(x+X) ) \X v(x+X)  v(x) =lim ([u(x)+ u] v(x) – u(x) [v(x)+v]) \X v(x+X)  v(x) = lim (u  v + u  v – u  v – u  v)\ X[v + v]  v =lim v (u /X)\ v  v + v v - (u (u /X))\v^2 (X->0)

Так как lim v =0 (в силу дифференцируемости, а  и непрерывности v(x)), а множители u и v не зависят от v.

44. Производные элементарных функций.

ТЕОР: Производная функции f(x)=C выражается формулой Y’=0.

Док-во: Для х и X имеем: f = f (х +X) – f(x) = C – C = 0. Отсюда f /Х = 0/Х = 0 при Х0.  Y’= lim f /X = 0.

ТЕОР: Производная функции Y=X^n, где n - целое число, выражается формулой Y’=n X^(n-1).

Док-во: Используя формулу бинома Ньютона , имеем

Y= (X+X)^n – x^n=( Х^n+n  X^(n-1) X +((n(n – 2))/2!)  X^(n-2)(X)^2+K (X)^n) – X^n= n X^(n-1) X +… +((n(n – 1))/2!)  X^(n-2)(X) ^2+K(X) ^n. Т. о., при Х0

Y/X = n  X^(n-1)+((n(n – 2))/2!)  X^(n-2)(X) + K (X) ^(n-1). Так как lim X=0, lim (X) ^(n-1)=0, то Y’= lim Y/X = n  X^(n-1).

ТЕОР: Производная функции Y=sin X выражается формулой Y’=cos X.

Док-во: Имеем Y= sin(X+X) – sinX = 2sin(X/2)  cos(X+X/2). Т. о., при Х0

 Y/X = (2sin(X/2)  cos(X+X/2))\ X = (sin(X/2)  cos(X+X/2))\ X/2.

Так как lim (sin(X/2))\  X/2=1, а lim cos(X+X/2) = cos X, то Y’= lim Y/X =cos X.

ТЕОР: Производная функции Y=cos X выражается формулой Y’= -sin X.

Док-во: Имеем Y= cos(X+X) – cos X = -2sin(X/2)  sin(X+X/2). Т. о., при Х0

 Y/X =( -2sin(X/2)  sin(X+X/2))\ X = (- sin(X/2)  sin(X+X/2))\ X/2.

Так как lim (sin(X/2))\  X/2 =1, а lim -sin(X+X/2) = -sin X, то Y’= lim Y/X =-sin X.

ТЕОР: Производная функции Y=tg X выражается формулой Y’=1/cos^2 X (X/2+n, nZ).

Д ок-во: Y’=(tg X)’=(sin X/cos X)’=((sinX)’ cosX – sinX (cosX)’)\ Cos^2X =(cos^2X + sin^2X)\ Cos^2X = 1\ cos^2x => (tgx)’=1\cos^2x, x≠π\2+nπ,n=0,±1.±2,…

ТЕОР: Производная функции Y=ctg X выражается формулой Y’= -1/sin X (Xn, nZ).

Док-во: Y’=(ctg X)’=(cos X/sin X)’=((cosX)’ sinX –cosX (sinX)’) =(-(sin^2X + cos^2X) )\sin^2X =-1\ sin^2X, x≠ nπ,n=0,±1.±2,…

ТЕОР: Производная функции Y=loga X (0<a1) выражается формулой Y’=(1/X)log e=1/(xln a).

Док-во: Имеем Y=loga(X+X) - logaX = loga((X+X)/X) = loga(1+X/X). Т. о., при Х0

Y/X = (1/X)  loga(1+X/X) = (1/X)  (Х/X)  loga(1+X/X) = (1/X)  loga(1+X/X)^(x/X).

Полагая Х/X=h, имеем: lim (1+X/X) ^(x/X) = lim (1+1/h)^h=e. Так как логарифмическая функция является непрерывной, то Y’=lim Y/X =(1/X)  loga[lim(1+X/X) ^(x/X)]= (1/X)  logae = 1/(Xln a).

СЛЕД: Если Y=logeX =ln X, то Y’=(1/X).