38. Теорема о связи диффер. И существовании пр-ной.

ТЕОР: Для того, чтобы функция Y=f(x) была дифференцируема в точке X0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: Необходимость: Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение представимо в виде Y=AX+(X)X. Поделим это равенство на X, получим Y/X=А+(X). Переходя к пределу при X0, имеем lim (Y/X)=lim (А+(X))=A.  Производная в точке X0 существует и f ’(X0)=А.

Достаточность: Пусть существует конечная производная f ’(X0), т. е. lim (Y/X)= f ’(X0). Обозначим f’(X0)=А, тогда функция (X)=Y/X - А является бесконечно малой при X0. Из последнего равенства имеем Y=AX+(X) X, где lim (X)=0. Получено представление Y=AX+(X)X.  Функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0.

39. Непрерывность и дифференцируемость функции.

ТЕОР: Если функция Y=f(x) дифференцируема в данной точке X0, то она и непрерывна в этой точке.

Док-во: Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X. Тогда, переходя к пределу при X0 получаем limY=AlimX+lim (X)limX=0, что означает непрерывность функции Y=f(x) в точке X0 согласно определению.

39. Понятие дифференциала. Геометрический смысл.

Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение Y в этой точке представимо в виде: Y=AX+(X)X, где lim (X)=0. Слагаемое AX является при X0 бесконечно малой одного порядка с X (при А0), оно линейно относительно X. Слагаемое (X) при X0 бесконечно малая более высокого порядка, чем X, так как lim ((X) X)/X = lim (X)=0. Т. о. первое слагаемое является главной частью приращения функции.

ОПР1: Дифференциалом функции Y=f(x) в точке X0 называется главная, линейная относительно X, часть приращения функции в этой точке. Обозначается dY= AX.

Если А=0, то AX не является главной частью приращения Y. Однако и в этом случае по определению дифференциал функции в точке X0 равен AX, т. е. dY=0. Можно записать дифференциал в виде dY= f ’(X0) X.

Дифференциалом независимой переменной называют приращение этой переменной dX=X. Соотношение имеет вид dY= f ’(X0) dX. Можно вычислить f ’(X0): f ’(X0)=dY/dX.

П усть точка М на графике соответствует значению аргумента X0, а точка Р – значению аргумента Х0+Х. Проведем касательную MS к графику в точке М. Обозначим через  угол, образованный касательной с осью ОХ. Пусть MN || OX, PN || OY и Q – точка пересечения касательной с PN. Тогда приращение функции равно величине отрезка PN. Из треугольника MQN имеем: QN= tg X= f ’(X0) X= dY  Дифференциал функции равен величине отрезка QN. Видно, что PN и QN различны. Т. о. дифференциал dY функции f(x) в точке X0 равен приращению ординаты касательной MS к графику в точке М.

39. Бесконечно малые, бесконечно большие функции. Связь между ними.

Бесконечно малые функции(бмф). Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке х=а, если предел в этой точке равен нулю: lim f(x)=0 (x->a). Аналогично определяются бесконечно малые при ->∞,±∞,a+.a-.

Если функция f(x) имеет предел А в точке х=а, то функция α(х) = f(x) –А является бмф в точке а.

Док-во. Действительно из теоремы вытекает, что lim α(х)(x->a)=lim f(x) – lim А(x->a)= А-А=0, откуда согласно определению и следует, что α(х) – бмф в точке а.

Мы получаем спец представление для функций, имеющих предел в точке х=а, через бмф: f(x) = A + α(х).

Бесконечно большие функции (ббф). Опре-е. Функция f(x) называется ббф в точке а, если для любой сход к а последовательности {xn} значений аргумента соответствующая последовательность {f(xn)} значений аргумента является бб последовательностью.

В этом случае пишут lim f(x) = ∞ (x->a) (lim f(x) = +∞ или lim f(x) = -∞ (x->a)) и говолрят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (±∞). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконечные пределы: lim f(x) = +∞ (x->a+), lim f(x) = -∞ (x->a-), lim f(x) = +∞ (x->a-), lim f(x) = -∞ (x->a+). Аналогично определяются бесконечно большие при ->∞,±∞.

между бм и бб функциями существует та же связь, что и между соответ последовательностями, т.е. α(х) – бмф при x->a , то f(x) – 1\ α(х) – бб и наоборот. Это утверждение можно доказать например используя первое определение предела функции в точке и соответствующие теоремы о бм и бб последовательностях.