32. Теорема о непрерывной обратной функции.

ТЕОР: Пусть функция Y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У – множество ее значений. Тогда на множестве У обратная функция X=(y) однозначна, строго монотонна и непрерывна.

ЗАМ: если обратная функция X=(y) однозначна, то, очевидно, что f – обратная функция для функции , говорят, что f и  – взаимообратные.

32. Понятие производной.

Приращением функции Y=f(x) в точке X0, отвечающим приращению аргумента X, будем называть число Y=f(X0+X) – f(X0).

Производной функции Y=f(x) в данной точке X0 называется предел при X0 отношения приращения функции к приращению аргумента. При условии, что он существует – конечная производная. Если он равен бесконечности, то функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет конечную производную в каждой точке множества Х, то можно рассматривать производную как функцию определенную на множестве Х.

Геометрический смысл производной.

Пусть функция Y=f(x) определена на интервале (a, b) и пусть точка А на графике функции соответствует значению аргумента Х0, а точка В – значению (Х0+Х). Проведем через А и В прямую и назовем ее секущей. Обозначим через (Х) угол между секущей и осью ОХ.

Если при Х0 существует lim (X)=  0, то прямую с угловым коэффициентом К=tg  0, проходящим через точку А(Х0, f(X0)), называют предельным положением секущей АВ при Х0 (или ВА).

Касательной S к графику функции Y=f(x) в точке А будем называть предельное положение секущей АВ при Х0 (или при ВА).

ТЕОР: Если функция Y=f(x) имеет в точке Х0 производную, то существует касательная к графику Y=f(x) в точке М(X0, f(X0)), угловой коэффициент касательной K=tg  0 = f ’(X0).

Д ок-во: Проведем прямую MN || OX, тогда PN || OY, MN=X, PN=Y, PMN= => tg (X) = Y/X = (f(x0-X )-f(x0))\ X  (X) =arctg Y/X. Перейдем к пределу при X0. Так как существует производная f ’(X0), то существует и предел lim Y/X=f ’(X0) и так как функция arctg Y/X непрерывна  существует предел правой части равенства:

lim arctg Y/X= arctg (lim Y/X)=arctg f ’(X0).  Существует предел и левой части равенства. Получаем lim (X) = arctg f ’(X0).  Существует предельное положение секущей РМ, т. е. существует касательная к графику функции Y=f(x) в точке А(X0, f(X0)), причем угол наклона этой касательной к оси ОХ равен arctg f ’(X0) и, значит, угловой коэффициент касательной tg  0= f ’(X0).

Составим уравнение касательной к графику функции Y=f(x) в точке A(X0, f(X0)). Уравнение прямой, проходящей через точку C(a, b) с угловым коэффициентом k имеет вид Y=b+k(x –a). Но в точке А значение функции равно f(X0), поэтому в уравнении а=Х0, b= f(X0), k= f ’(X0). Получаем уравнение касательной Y= f(X0)+ f ’(X0)(X - X0).

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной в этой точке.

32. Понятие дифференцируемости функции.

Функция Y=f(x) называется дифференцируемой в точке X0, если ее приращение Y в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X, где А – некоторое число, не зависящее от X, а (X) – функция аргумента X, являющаяся бесконечно малой при X0, т. е. lim (X)=0.

ТЕОР: Для того, чтобы функция Y=f(x) была дифференцируема в точке X0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: Необходимость: Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение представимо в виде Y=AX+(X)X. Поделим это равенство на X, получим Y/X=А+(X). Переходя к пределу при X0, имеем lim (Y/X)=lim (А+(X))=A.  Производная в точке X0 существует и f ’(X0)=А.

Достаточность: Пусть существует конечная производная f ’(X0), т. е. lim (Y/X)= f ’(X0). Обозначим f ’(X0)=А, тогда функция (X)=Y/X - А является бесконечно малой при X0. Из последнего равенства имеем Y=AX+(X) X, где lim (X)=0. Получено представление Y=AX+(X)X.  Функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0.