27. I теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Док-во: ПП: пусть f(x) не ограничена на [a, b]. Разделим сегмент пополам, тогда, по крайней мере, на одном из сегментов функция не ограничена. Обозначим этот сегмент [a1, b1]. Продолжим процесс деления неограниченно получим последовательность [a, b]  [a1, b1]  [a2, b2] … [an, bn]… Это последовательность вложенных отрезков, на каждом из них функция не ограничена (по предположению). По построению bn - an =(b – a)/2^n 0 при n. Тогда существует единственная точка С принадлежащая всем этим отрезкам. Функция f(x) определена и непрерывна на [a, b].  Она непрерывна в точке С, но тогда (лемма) существует окрестность точки С, в которой f(x) ограничена. При большом n в эту окрестность попадает сегмент [an, bn], на котором функция также ограничена. Противоречие.  Она ограничена на этом сегменте.

ЗАМ: теорема неверна, если сегмент заменить на интервал.

27. II теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т. е. существуют точки X1, X2[a, b] такие, что f(X1)=M=sup f(X2)=m=inf f(x) на сегменте [a, b].

Док-во: Так как f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке (1 Т В).  Существует точная верхняя М и точная нижняя m грани функции f(x) на отрезке [a, b]. Докажем, что функция достигает М, т. е. существует точка Х1[a, b], что f(X1)=M. Тогда для х[a, b] выполняется неравенство f(x)<M. Построим вспомогательную функцию F(x)=1\(M-f(x))>0 для х[a, b]. Функция F(x) непрерывна (как частное непрерывных функций). Но тогда (по 1 Т В) F(x) ограничена, т. е. найдется число >0 такое, что х[a, b] 1\(-f(x)) или f(x)M – 1/.. Т. о. число М – 1/ является верхней гранью f(x) на отрезке [a, b]. Но это противоречит тому, что М – точная верхняя грань f(x) на отрезке [a, b].  Существует точка X1[a, b], в которой f(x)=M. (Нижняя грань аналогично)

ЗАМ: после доказательства факта, что непрерывная на [a, b] функция достигает своих точной нижней и верхней граней, точную верхнюю грань принято называть максимальным значением, а точную нижнюю грань – минимальным значением. Теорема формулируется:

Непрерывная на [a, b] функция принимает на нем свое min и max значение.

32. Теорема о непрерывной сложной функции.

ТЕОР: Пусть функции Z=(x) непрерывна в точке X0, а функция Y=f(z) непрерывна в точке Z0. Тогда сложная функция Y=f((x)) непрерывна в точке X0.

Док-во: Пусть Х1, Х2, Х3,…, Хn,… -  последовательность из множества Х, сходится к точке Х0. Тогда в силу непрерывности функции Z=(x) в точке Х0 имеем lim Zn = lim (Xn) = (X0) = Z0 при n, то есть соответствующая последовательность точек Z1, Z2, Z3,…, Zn,… сходится к точке Z0. В силу непрерывности функции f(z) в точке Z0 имеем lim f(Zn) = f(Z0), т. е. lim f[(Xn)] = f[(X0)]. Получаем, что предел функции f((x)) в точке Х0 равен значению функции в точке Х0.  Функция непрерывна.