27. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

ТЕОР: Пусть функция f(x) задана на множестве Х непрерывна в точке Х0Х и f(x)0. Тогда существует положительное число  такое, что для всех х(Х0 - , Х0+)Х функция имеет тот же знак, что и f(X0).

Док-во: Пусть f(X0)>0. Так как функция непрерывна, то для () () такое, что для (хХ: |X0-x|) выполняется неравенство |f(x) – f(X0)|<. Последнее неравенство в виде f(X0) - <f(x)<f(X0)+, оно выполняется для х(Х0 - , Х0 + ). Возьмем =f(X0)>0, тогда для х(Х0 - , Х0 + ) f(x)>0.

Если f(X0)<0, то рассмотрим функцию –f(x). Тогда –f(X0)>0 и существует  - окрестность точки Х0, в которой –f(x)>0.  f(x)<0.

27. I теорема Больцано – Коши.

ТЕОР: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [A, B] и на концах сегмента имеет значения разных знаков. Тогда существует точка С(А, В) в которой f(C)=0.

Док-во: Пусть f(A)<0 и f(B)>0. Разделим сегмент [A, B] пополам. Если значение функции в середине сегмента равно 0, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных сегментов, на концах которого функция имеет значение разных знаков. Обозначим его [A1, B1]. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на к-ом шаге значение функции в середине сегмента [Aк, Bк] окажется равным 0. Либо получим последовательность [A, B]  [A1, B1]  [A2, B2] … [An, Bn]… вложенных сегментов, причем Bn – An = (В – А)/2^n0 при n и на концах каждого сегмента [An, Bn] функция имеет значения разных знаков.  Существует точка С принадлежащая всем сегментам. Докажем, что f(C)=0.

ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает сегмент [An, Bn].  На [An, Bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков (если f(C)<0 аналогично).

27. II теорема Больцано – Коши.

ТЕОР: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте[a, b], причем f(a)=A, f(b)=B. Пусть далее С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [a, b] найдется точка X0 такая, что f(X0)=C.

Док-во: Пусть A<B и A<C<B. Рассмотрим функцию (x) = f(x) – C. Эта функция непрерывна на [a, b] как разность непрерывных функций и принимает на концах сегмента значения разных знаков: (a)=f(a) – C=A – C<0 и (b)=f(b) – C=B – C>0. Тогда (по1 Т Б-К) существует точка Х0(a, b) такая, что (Х0)=f(X0) – C=0 f(X0)=C.

27. Точная верхняя (нижняя) грани функции.

Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а У – множество ее значений. Если множество У ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Точная верхняя (нижняя) грань множества У называется точной верхней (нижней) гранью функции f(х) на множестве Х и обозначается sup x f(x) (inf x f(x))

Определение точной верхней (нижней0 граней функции f(х) можно сформулировать след образом: число М называется точной верхней (нижней) гранью функции f(х) на множестве Х, если выполнены след условия:

1. f(х0≤М (f(x) ≥m)для любог х € Х;

2. для любого числа М1 < M(m1>m) найдется по крйней мере одна точка х1 € Х, такая что f(x1) > M1 (f(x1>m1).

3. Если множество Н не ограничено сверху (снизу), то вместо числа М(m) пишут +∞(-∞).