- •Множества. Операции над множествами.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •8. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •10. О единственности предела сходящейся последовательности.
- •11.Алгебраическая сумма, произведение, частное сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •13. О трех последовательностях
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Предел функции в точке.
- •19.Предел функции на бесконечности (по Гейне и по Коши).
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •25. Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •Точная верхняя (нижняя) грани функции.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •38. Теорема о связи диффер. И существовании пр-ной.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции. Связь между ними.
- •42. Свойства бесконечно малых функций.
- •43. Правила сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •58.Формула Тейлора.
- •I достаточное условие экстремума.
- •60. II достаточное условие экстремума.
- •61. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •62. Направление выпуклости функции. Точки перегиба графика функции.
- •63.Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Производные сложных функций.
25. Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если lim f(x) =f(A). ( хА)
ЗАМ: Если f(x) непрерывна в точке А, то она определена и существует в точке А.
Если lim x =A, то lim f(x) = f(A) = f(lim x). ( хА)
(Г) Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если для любой последовательности значений аргумента {Xn} сходящейся к А соответствующая последовательность значений функции {F(Xn)} сходится к числу F(A). ({Xn}A, XnX): {F(Xn)}F(A)
(К) Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если для любого найдется отвечающее ему положительное число такое, такое для всех х, удовлетворяющих условию
|x - A| ,выполняется неравенство |f(x) – f(A)|<.
( >0)(x:|x – A|<:|f(x) – f(A)|<
Приращение функции в точке А – f = f(x) – f(a), приращение аргумента - х = х – а
Функция f(x) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при х0, lim y = 0. ( х0)
Если lim f(x) = f(А), то функция f(x) непрерывна в точке А справа. (хА+)
Если lim f(x) = f(А), то функция f(x) непрерывна в точке А слева.( хА -)
ТЕОР: Функция f(x) непрерывна в точке А, если она непрерывна в точке А справа и слева.
ОПР: Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте [A, B], если она непрерывна во всех внутренних точках сегмента за исключением конечного числа точек, в которых имеет разрыв I рода и, кроме того, существуют односторонние пределы в точках А и В.
ОПР: Функция называется непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой.
26. Точки разрыва функции.
Точка А называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной функцией.
Классификация разрывов:
Точки устранимого разрыва.
Точки разрыва I рода.
Точки разрыва II рода.
Точка А – точка устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует, но функция в этой точке неопределена; либо предел функции в этой точке не равен значению функции в этой точке.
Точка А – точка разрыва I рода, если в этой точке функция имеет конечный правый предел, конечный левый предел, но они не равны между собой.
Точка А – точка разрыва II рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из пределов (правого или левого) или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.
ТЕОР: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А. Тогда функции f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) (при g(A)0) также непрерывны в этой точке.
Док-во: Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке А, то lim f(x)=f(A) и lim g(x)=g(A) при хА. Тогда пределы функций f(x) g(x), f(x) g(x), f(x)\g(x) существуют и равны f(А) g(А), f(А) g(А), f(А) g(А) (при g(A)0). Но эти величины равны значениям функций в точке А. f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) непрерывны в точке А.