20. Бесконечно малые функции. Действия над ними.

Функция называется бесконечно малой в точке х=А (или при хА), если предел этой функции в точке А равен 0.

(К) Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=А (или при хА), если для любого положительного числа  >0 существует >0 такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x – A|<, выполняется неравенство |(x)|<.

(>0)(=()>0)(xX,0<|x – A|<):|(x)|<

(Г) Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=А (или при хА), если для любой сходящейся к А последовательности {Xn} значений аргумента Х, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции {(Xn)} является бесконечно малой. ({Xn}A, XnA):{F(Xn)} – б-м

ТЕОР: Для выполнения равенства limf(x)=b (х)необходимо и достаточно, чтобы функция

(х)=f(х) - b была бесконечно малой при хa.

Док-во: Необходимость: пусть limf(x)=b. Рассмотрим разность (х)=f(х) – b и докажем, что (х) – бесконечно малая функция при хa. Действительно lim (х)=lim(f(х) – b)=limf(x) – lim b=b – b=0.

Достаточность: Пусть (х)=f(х) – b, где (х) – бесконечно малая функция при хa. Докажем, что limf(x)=b. Так как f(x)=b+(х), то limf(x)= lim(b+(х))= lim b+ lim (х) =b+0=b.

ТЕОР: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при ха, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную являются бесконечно малыми функциями при ха.

Док-во: Вытекает из определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей.

Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.

(К) Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х=А (или при хА), если для любого положительного числа  >0 существует >0 такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x–A|<, выполняется неравенство |А(x)|>.

(>0)(=()>0)(xX,0<|x – A|<):|A(x)|>

(Г) Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х=А (или при хА), если для любой сходящейся к А последовательности {Xn} значений аргумента Х, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции {A(Xn)} является бесконечно большой.

({Xn}A, XnA): {F(Xn)} – б-б

Функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Док-во: Пусть f(x) – бесконечно малая функция, т. е. ее предел равен 0. Пусть >0, так как f(x) – бесконечно малая, то для 1/>0 (=()>0) (xX, xA, |x-A|<): |f(x)|<1/  при этих условиях |1/f(x)|>. (>0) (=(A)>0) (xX, xA, |x-A|<): |1/f(x)|>  1/f(x) – бесконечно большая функция и ее предел равен .

20. Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.

Говорят, что (х) является в точке А бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем (х), если limα(x)\ β(x)=0. =о() (хА)

Говорят, что (х) и (х) являются в точке А бесконечно малыми функциями одного порядка, если lim limα(x)\ β(x) =А. (хА)

Говорят, что (х) и (х) являются в точке А эквивалентными бесконечно малыми функциями, если limα(x)\ β(x)=1. (х)(х) ( хА)

ЗАМ: Аналогичны правила для бесконечно больших функций. Справедливы для хА+, А-, +, - , .

ТЕОР: Если (х) и (х) бесконечно малые функции, то (х) * (х) = о( (х)) и (х)  (х) = о((х)).

Док-во: lim ((x)(x))/(x)=lim (x)=0, так как (x) – бесконечно малая функция  (х)(х) = о( (х)) ((х)  (х) - более высокого порядка, чем (х))

lim ((x) (x))/(x)=lim (х)=0, так как (х) –бесконечно малая функция  (х)  (х) = о((х)) ((х)  (х) - более высокого порядка, чем  (х))

ТЕОР: Если (х)  1(х) и (х)  1(х) бесконечно малые функции и хА, то существуют lim α(x)\ β(x) и lim α(x)1\ β(x)1, причем они равны. (хА )

Док-во: lim1(x)/1(x)=lim(1(x)/(x))((x)/(x)))((x)/1(x))=lim(1(x)/(x))lim((x)/(x))lim((x)/1(x))= =1lim((x)/(x))1=lim((x)/(x))