1. Множества. Операции над множествами.

Множество – совокупность определенных различных между собой объектов мыслимых как единое целое.

Если множества Х и У состоят из одних элементов, то они совпадают Х=У.

Если все элементы Х  У, то Х содержится в У, Х – подмножество У, Х У или У Х.

Если Х не содержится в У, Х У.

Операции:

Пустое множество – множество, не содержащее элементов, подмножество любого множества - .

Пересечение А и В – С, состоящее из элементов, принадлежащих как А, так и В, АВ.

Объединение А и В – С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из А или В, АВ.

Разность А и В – С, состоящее из элементов А, не принадлежащих В, АВ.

Дополнение А – С, состоящее из элементов U, не принадлежащих А, А’.

2. Грани числовых множеств. Свойство точной грани.

Говорят, что множество Х ограничено сверху, если существует точка С такая, что для всех х из множества Х выполняется неравенство хC. (C)(xX): xC

Говорят, что множество Х ограничено снизу, если существует точка С такая, что для всех х из множества Х выполняется неравенство х С. (C)(xX):xC

Множество ограниченное сверху и снизу – ограниченное, если существуют точки M и m такие, что для всех х из множества Х выполняется неравенство mxM.

(m;M)(xX):mxM

Множество ограниченное сверху и снизу – ограниченное, если существуют точка А>0 такая, что для всех х из множества Х выполняется неравенство |x|A.

(A>0)(xX):|x|A

ТЕОР: Ограниченное сверху множество имеет бесконечное множество верхних граней.

Док-во: Пусть С – верхняя грань множества Х  (C) (хХ): хC, произвольное C’>C  для хХ хС<C’  x<C’  C’ – верхняя грань множества Х хХ хС<C’  x<C’  Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.

ТЕОР: Ограниченное снизу множество имеет бесконечное множество нижних граней.

Док-во: Пусть С – нижняя грань множества Х  (C) (хХ): хC, произвольное C’<C  для хХ хС>C’  x>C’  C’ – нижняя грань множества Х хХ хС>C’  x>C’  Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.

Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества – точная верхняя грань.

Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества - точная нижняя грань.

ТЕОР: Свойство точной верхней грани.

Точную верхнюю грань нельзя уменьшить. Как бы не было мало  > 0, найдется х’, принадлежащий множеству Х, обладающий свойством х’>sup(x-  ). (>0)(x’X):x’>sup(x - )

Док–во: Пусть не существует x’X, обладающего свойством x’> sup(x) -   для всех хХ выполняется условие x<sup(x) - .

: не существует X’X x’>sup (x) -   (xX): x<sup (x) -   sup (x) -  - точная верхняя грань множества Х, это противоречит тому, что sup (x) – точная верхняя грань.

ТЕОР: Свойство точной нижней грани.

Точную нижнюю грань нельзя увеличить. Как бы не было велико  >0, найдется х’, принадлежащий множеству Х, обладающий свойством х’<inf(x+). (>0)(x’X):x’>inf(x + )

Док–во: Пусть не существует x’X, обладающего свойством x’<inf(x) +   для всех хХ выполняется условие x>inf(x) + .

: не существует x’X x’<inf (x) +   (xX): x>inf(x) +   inf(x)+  - точная нижняя грань множества Х, это противоречит тому, что inf(x) – точная нижняя грань.