Чисельні методи обчислення визначених інтегралів

Якщо функція є неперервною на відрізку і відома її первісна , то для обчислення визначеного інтеграла можна використати формулу Ньютона-Лейбніца

.

Однак цією формулою важко і навіть практично неможливо с користатись тоді, коли первісну не можна виразити через елементарні функції, як, наприклад, у інтегралів , і ін. Крім цього, на практиці підінтегральна функція задається таблично і тоді саме поняття первісної втрачає сенс. Тому важливого значення набувають наближені й насамперед чисельні методи обчислення визначених інтегралів.

Розглянемо низку методів, суть яких полягає в обчисленні значень інтеграла на основі значень підінтегральної функції в скінченній кількості точок, що належать відрізку . Тобто розглянемо методи, в яких

, (1)

де , – сталі. Наведена формула називається квадратурною формулою, точки – вузлами квадратурної формули, а – коефіцієнтами квадратурної формули.

Як правило, рівність (1) наближена. Різницю між визначеним інтегралом і квадратурною сумою

, (1)

називають залишковим членом, або похибкою квадратурної формули (1). При цьому питання оцінки має сенс лише у тому разі, якщо функція задана аналітично.

Для побудови квадратурних формул найчастіше використовується інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Квадратурні формули Ньютона-Котеса

Побудуємо квадратурну формулу

, (2)

для чого використаємо інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Запишемо підінтегральну функцію у вигляді

, (3)

де – інтерполяційний многочлен Лагранжа, побудований за вузлами інтерполювання

, (4)

а – залишковий член (похибка) інтерполяції. Тоді, виконавши інтегрування (3), одержимо рівність

, (5)

де

, .

Введемо заміну , і перетворимо многочлен Лагранжа у відповідністю з нею

. (6)

У зв’язку із введеною заміною потрібно змінити межі інтегрування. Значенню буде відповідати а значенню  ― . Потрібно також врахувати, що Тоді з врахуванням вказаних заміни, для обчислення коефіцієнтів одержимо формулу

, (7)

або

, (8)

де

. (9)

Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Котеса. Квадратурна формула Ньютона-Котеса при цьому має вигляд

. (10)

На лістингу 1 наведено функцію , реалізовану в пакеті Mathcad, для обчислення коефіцієнтів деяких квадратурних формул Ньютона_Котеса

На лістингу 2 наведено формули, реалізовану в пакеті Mathcad, для обчислення коефіцієнтів квадратурних формул Ньютона_Котеса для .

Розглянемо більш детально деякі формули чисельного інтегрування.

Квадратурні формули прямокутників

Інтегрування за методом прямокутників полягає в тому, що інтервал інтегрування ділиться точками на рівних частин з кроком . Наближене значення інтеграла на відрізку можна знайти, якщо функцію замінити інтерполяційним многочленом нульового степеня, тобто для всіх покласти , де . Тоді дістанемо наближену рівність

. (11)

Якщо і неперервна на , то наближену рівність (11) можна тлумачити як наближене значення площі криволінійної трапеції ABCD (рис. 1), обмеженої знизу віссю абсцис, зверху графіком функції а з боків прямими і , за яку береться значення площі прямокутника MNCD. Тому формула (11) дістала назву формули прямокутників.

Якщо або , або , то формулу (11) називають відповідно формулою лівих або правих, або середніх прямокутників.

Знайдемо залишкові члени формул прямокутників, припустивши, що підінтегральна функція на має неперервну похідну першого порядку (для випадку формул лівих і правих прямокутників) і неперервну похідну другого порядку (для випадку формули середніх прямокутників).

Проінтегрувавши обидві частини формули Лагранжа

,

по x в межах від до , знайдемо

.

Звідси залишковий член лівих прямокутників

.

Оскільки на відрізку множник зберігає знак, а функція неперервна, то за узагальненою теоремою про середнє значення маємо

. (12)

Аналогічно, виконавши інтегрування по x у межах від до обидві частини формули Лагранжа

і застосувавши до інтеграла теорему про середнє значення, для залишкового члена формули правих прямокутників знайдемо

. (13)

Якщо , то функцію в околі точки за формулою Тейлора можна представити у вигляді

.

Проінтегрувавши останню формулу, одержимо

.

Оскільки , то

,

а тому формула залишкового члена середніх прямокутників має вигляд

Оскільки неперервна на відрізку , а множник зберігає знак на , то за узагальненою теоремою про середнє значення маємо

,

звідки

. (14)

Таким чином, у випадку заміни функції на відрізку інтерполяційним поліномом нульового степеня , для обчислення інтеграла ми дістали три наближені формули та їх похибки, відповідно, формули лівих, правих і середніх прямокутників:

, ; (15)

, ; (16)

, . (17)

Зауважимо, що усі три формули є частинним випадком квадратурної формули Ньютона-Котеса при , оскільки для всіх цих формул коефіцієнт (перший рядок матриці коефіцієнтів Котеса).