Розділ 3. Інтерполяція і наближення функцій

Під час розв’язання багатьох задач обчислювальної математики часто доводиться заміняти одну функцію (відому, невідому або частково відому) близькою до неї функцією , яка має визначені властивості. Таку заміну однієї функції іншою називають інтерполюванням функції.

Найпростіша задача інтерполювання полягає в наступному. На відрізку задані точки , які називаються вузлами інтерполювання, і значення деякої функції в цих точках

. (1)

Потрібно побудувати інтерполяційну функцію , яка належить відомому класу і яка у вузлах інтерполювання приймає ті ж самі значення, що і функція :

, (2)

а в інших точках відрізка , що належать області визначення функції , наближено зображувала функцію з тією чи іншою точністю.

У такій загальній постановці задача може мати нескінчену кількість розв’язків або не мати їх зовсім. Однак ця задача стає однозначною, якщо замість функції шукати поліном степеня , який задовольняє умовам (2), тобто такий, що

,

Як правило, інтерполяційну функцію використовують для наближеного обчислення значень заданої функції у точках, відмінних від вузлів інтерполювання. При цьому розрізняють інтерполювання у вузькому розумінні, або просто інтерполювання, коли , і екстраполювання, коли .

Розглянемо деякі найбільш часто використовувані інтерполяційні поліноми (многочлени).

3.1. Канонічний поліном

Будемо шукати інтерполяційну функцію у вигляді канонічного полінома степені :

, (3)

де – деякі постійні коефіцієнти, які потрібно визначити з певних умов. У випадку побудови канонічного полінома, коефіцієнти , визначаються з умови , , яка зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

(4)

Визначник системи (4) , який називають визначником Вандермонда,

, (5)

н

Таблиця 1

i	0	1	2	3
	1	3	4	6
	10	6	8	5

е перетворюється на нуль, якщо серед сукупності вузлів немає таких, що збігаються, а отже, матриця системи (4) є не виродженою і система має єдиний розв’язок. Розв’язок системи (4) можна здійснити одним із розглянутих у розділі 2 методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад 1. Побудувати канонічний поліном третього степеня для функції , заданої табл.1, і знайти наближене значення в точці .

Розв’язання. Для розв’язання поставленої задачі потрібно сформувати дві таблиці: таблицю значень аргументу Тх (значення вузлів інтерполювання) і таблицю значень функції у вузлах інтерполювання Ту. Далі формується матриця коефіцієнтів системи А. Після цього звертаємось до процедури-функції lsolve, за допомогою якої знаходимо коефіцієнти полінома (вектор а) і будуємо графік таблично заданої функції, графік побудованого многочлена та відкладаємо значення побудованого многочлена в точці . На лістингу 1 наведено розв’язання поставленої задачі в пакеті Mathcad.

3.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Нехай у точках , , задано значення функції : , . Треба побудувати многочлен степені , який у вузлах , , набуває тих самих значень, що і функція , тобто

, . (6)

Інтерполяційний многочлен шукатимемо у вигляді:

(7)

де – многочлен степеня , що у вузлах інтерполяції задовольняє умови:

Даний варіант запису многочлена називають інтерполяційним многочленом Лагранжа. Для пошуку знаходять многочлен степеня , що перетворюється в нуль у вузлах інтерполяції , і дорівнює одиниці в точці . Многочлен, що задовольняє ці вимоги, може бути записаний у вигляді:

. (8)

Підставивши вираз для у формулу (7), дістанемо вираз інтерполяційного многочлена

, (9)

який називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену рівність

(10)

– інтерполяційною формулою Лагранжа.

Розглянемо два окремих випадки інтерполяційної формули Лагранжа (9).

1⁰. Нехай , тобто значення функції задано в двох вузлах і . Позначимо ці значення через і . Тоді з формули (9) дістанемо

. (11)

Формулу (11) називають формулою лінійного інтерполювання. При лінійному інтерполюванні дуга кривої на відрізку замінюється відрізком прямої (11), що лежить між точками і .

2⁰. Нехай . У цьому випадку функцію задано в трьох вузлах , і значеннями , і . Тоді з формули (9) дістанемо

. (12)

Формулу (12) називають формулою квадратичного інтерполювання. При квадратичному інтерполюванні дуга кривої на відрізку замінюється дугою параболи (12), що лежить між точками , і .

Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна записати компактніше. Для цього введемо многочлен -го степеня вигляду

. (13)

Виконавши диференціювання функції (13) по , дістанемо

.

Поклавши тут , матимемо

. (14)

Підставивши (13) і (14) в (9), знайдемо

. (15)

Вирази , що є коефіцієнтами при у многочлені Лагранжа, називають коефіцієнтами Лагранжа.

Побудова інтерполяційного многочлена Лагранжа у такому вигляді для кожної конкретної задачі пов’язана зі значними обчислювальними затратами. Для виходу з цієї ситуації можна скористатись засобами пакету Mathcad.

Приклад 2. Для даних, наведених в прикладі 1 знайти коефіцієнти Лагранжа, побудувати відповідний многочлен Лагранжа, знайти наближене значення многочлена Лагранжа в точці та побудувати графіки коефіцієнтів та многочлена Лагранжа.

Розв’язання. На лістингу 2 наведено функції: , та многочлен Лагранжа у звичайному та розгорнутому вигляді, а також графіки коефіцієнтів та многочлена.

Для розв’язання поставленої задачі можна побудувати спеціальну процедуру-функцію . На лістингу 3 наведено процедуру-функція , побудовано її графік та обчислено значення многочлена в точці . Перевага так побудованого многочлена Лагранжа є його компактність, а недолік – неможливість із одержати звичайний многочлен.