Лекция №1

Максвеллдың теңдеулері.

Физика курсынан бізге толық ток теңдеуі белгілі:

(1)

Токты біз тығыздық арқылы жаза аламыз

(2)

Осыдан

(3)

Үшінші теңдеуді бірінші теңдеуге кіргіземіз

(4)

Төртінші теңдеудің сол жағын Стокс теоремасы арқылы көлем интегралына ауыстырамыз

(5)

Аудан бойынша екі интеграл тең, сол себептен

(6)

Бұл теңдеуді Максвелл былай түсінген:

Мангнит өрісі тоқ тығыздығын тудырады сым бойында, ал конденсатордың екі бет арасында заряд ағыны байқалған емес, сонда қандай ток тығыздығы туралы сөз болу

керек? Ал Максвелл болса конденсатордың екі бетінің арасында ығысу тоғы жүреді деп санайды. Ығысу токтың тығыздығын Максвелл былай анықтаған:

= (7)

Немесе:

(8)

Бұл теңдеуді Максвеллдың бірінші заңы немесе бірінші теңлеуі деп санаймыз.

Ал енді электр өрісін қарастырайық. Заряды +q материалдық нүктенің электр өрісінің кернеулігі

(9)

Eнді осы зарядты сфера ішіне тығып қояйық, сонда электр өрісінің күш сызықтары сфера бетін тесіп өтеді. Электр кернеулігінің толық ағынын табайық – ол сфераны тесіп өтетін электр күш сызықтарының санын береді.

(10)

Сонымен электр кернеулігінің толық ағыны

(11)

Енді зарядты тығыздық арқылы табайық

(12)

Немесе

(13)

Енді (13) теңдеудің сол жағын Остроградский- Гаусс теоремасы арқылы өңдейік

(14)

Егер интегралдар бір біріне тең болса, онда интеграл астындағы шамалар да тең болмақ

(15)

Енді элект кернеулігінен ығысу векторына ауысайық

, (16)

Соңғы (16) формула Максвеллдың үшінші теңдеуі боп саналады.

Енді Фарадей заңына көшейік (17)

Ф - магнит ағыны. (18)

Ал енді Э.Қ.К пен курнеулік арасындағы байланысты табайық

(19)

Немесе

(20)

(17) және (20) формулалар арасында қандай байланыс бар?

(21)

Соңғы теңдеудің сол жағын Стокс теоремасымен өңдейік

(22)

Cоңғы формуланың оң жағында дифференциал мен интегралдың орнын ауыстырайық

(23)

(24)

Cоңғы формула Фарадейдің екінші теңдеуі боп саналады

Төртінші теңдеу жеке магнит зарядтарының жоқтығын білдіреді cебебі магнит күш сызықтары тұйық.

(25)

, (26)

(27)

Соңғы екі теңдеулер Максвеллдың төртінші заны боп саналады

Дәріс №2

Максвелл теңдеулері комплекс түрінде

Максвелл теңдеулерін комплекс түрінде жазу үшін алдымен электр және магнит кернеуліктерін комплекс түрінде анықтап алайық.

Егер электр және мегнит өрістері синус не косинус заңдарымен өзгеретін болса онда:

(1)

(2)

Кернеуліктер комплекс түрінде болған соң E, H төбесіне нүкте қоятын боламыз Ė, Ĥ. Маквеллдың бірінші теңдеуі былай жазылады:

(3)

Мұнда

(4)

комплексті диэлектрикалық өтімділік.

(5)

Дәл солай rotE табамыз

(6)

(7)

Максвеллдың төртінші теңдеуі

(8)

Монохроматик өрісінің үзіліссіз теңдеудің түрі осындай:

(9)

Комплекс түрінде былай болады:

(10)

Біртекті және изотропты орта үшін координаттардан тәуелді емес. Сол себептен

(11)

(12)

Сонымен изотропты орта үшін келесі теңдеулер жүесі жеткілікті

(13)

(14)

анизотропты орта үшін - тензор болады

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Меншікті өткізгіш те тензор

(22)

Дәріс № 3

Екі орта арасындағы шекаралық шарттары

Электр және магнит өрістерінің нормаль құрамаларына түсетін шекаралық шарттар.

1. сурет

Суретте шекаралық жазықтық көрсетілген . М нүктесі жазықтығында

орналасқан. Жазықтықтың жоғарғы жағында бірінші орта , ал төменгі жағында екінгі орта

Осы цилиндрға қиғаш ығысу векторының ағыны туседі делік.

Ағын біртекті болсын. Электр күш сызықтары бір біріне параллель болсын,

сонда Е векторын екі векторға ыдыратуға болады. Біріншісі Е_1n цилиндрдың

табанына перпендикуляр, ал екіншісі цилиндрдың бүйрек бетіне перпендикуляр. Егер цилиндрды тұйық көлем деп санасақ сонда осы цилиндрды тесіп өтетін ағын сол көлем ішіндегі зарядтардың қосындысына тең болады Остроградский- Гаусс теоремасына сәйкес.

(1)

мұнда

(2)

(3)

(4)

Мұндағы минустың пайда болу себебі ағын цилиндрдың табанын ішінен сыртқа тесіп өтеді.

Сонымен

(5)

Цилиндрдың биіктігі азайған сайын көлемі азаяды. Көлем азайса зарядта азаяды, түбінде нольге тең болады.

(6)

Немесе

(7)

Егер екі ортаның шекарасында зарядтар болса онда (5) теңдеу бойынша

(8)

Теңдеудің екі жағын ке бөлсек, сонда оң жағы зарядтардың беттік тығыздығын көрсетеді.

(9)

Егер зарядтардың беттік тығыздығы нольге тең болса онда

(10)

(11)

(12)

Дәл солай біз магнит индукциясын ағынын қарастырып

(13)

Көрсетілген әдіспен дәлелдейміз (14)

(15)

Лекция № 4

Электр және магнит өрістерінің жанама құрамаларына түсетін

шекаралық шарттар

Сурет 2.

Бұл суретте S_o- екі изотропты орталар арасындағы жазық шекара.

S_o дан жоғары ортаны сипаттайтын ортаның параметрлары: .

S_o дан төмен ортаны сипаттайтын ортаның параметрлары: .

АВСD – төртбұрыш контур оның жартысы бір ортада, ал екінші жартысы

төменгі ортасында.

n_o- шекара бетіне М нүктесінен орт векторы, ал шекара жазықтыққа

жанама орт векторы. N_o- ABCD контурына оң бұранда арқылы табылған орт.

ABCD контурына Максвеллдың бірінші теңдеуін жазайық:

(1)

Сонда тоқтардың бағыты N_o векторымен бағыттас болады, ал контурдың ауданы.

(2)

BC және DA қабырғалар бір-біріне параллель, ал ұзындықтары 2 қа тең.

AB дағы dl = , ал CD ның ұзындығы dl =

(3)

(4)

(5)

Осы шектерді ескере отыра мынандай теңдеуге келеміз:

(6)

Егер бөліну шекарасында жазықтық тоқтар жоқ болса онда:

(7)

(8)

Ал (9)

Сурет 3

Лекция №5

Толқындық теңдеулер

Біртекті изотропты орта алайық және σ = 0, тоқ өткізбейді деген сөз.

Онда Максвеллдың теңдеулурі былай жазылмақ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Осы теңдеулерді шешіп E немесе H ты табу оңай жұмыс емес. Брақта

Басқа амал бар. Ол үшін ротордан ротор алып көрейік

(5)

Бұл текқана математикалық түрлендіру болып саналады.

Максвеллдың бірінші теңдеуінен ротор алайық:

(6)

Теңдеуде туынды мен ротордың орнын ауыстырайық

(7)

орнына оның мәнін қояйық:

(8)

Енді (5) мен (8) теңдеулерінің оң жақтарын біріктірейік:

(9)

(10)

Бұл теңдеу толқындық теңдеуі деп аталады.

Егер еске алсақ фазалық жылдамдық онда

(11)

Дәл осы әдіспен табамыз мынандай теңдеуге шығамыз:

(12)

Егер толқындық теңдеулердің оң жағы нөлге тең болмаса онда мұдай теңдеулерді Даламбердің текті емес толқындық теңдеулер деп атайды.

Лекция № 6

Электродинамикалық потенциалдар

Максвеллдың 4 ші теңдеуі divB = 0 . Егер В орнына rotA алсақ еш нәрсе

де өзгермейді теңдеу нөлге тең болады.

(1)

(2)

(3)

(4)

Егер А ның орнына А+ еш нәрсе өзгермейді

Максвеллдың екінші теңдеуіне келесі өзгеріс жасайық:

(5)

(6)

Жақшадағы шаманы –gradU деп алайық

(7)

(8)

Мұнда U- скалярлық потенциал, ал А- векторлық потенциал.

Электр өрісінің кернеулігі мен магнит өрісінің кернеулігі скалярлық және

векторлық потенциал арқылы анықталады. (2) және (8) теңдеулерді

Максвеллдың бірінші теңдеуіне ендірсек мынандай теңдеуге келеміз:

(9)

(9) шы теңдеуді жеңілдетейік ол үшін жақшаны нөлге теңейік

(10)

Бұл теңдеуді реттеу шарты деп атаймыз.

(11)

Дәл солай U скалярлық потенциал үшін де теңдеу табамыз

(12)

Осы теңдеуге реттеу шартын пайдалансақ

(13)

Егер Q = Const, онда

(8) ші теңдеу өзгереді

(14)

Бұл теңдеуді сфералық координат жүйесінде қарастырсақ

(r,

(15)

Интеграл алғаннан соң

(16)

Егер заряд кішкене көлемде шоғырланған болса

(17)

(17) – бұл шешім төмендегі теңдеудің шешімі:

(18)

Бұл теңдеуді Пуассон теңдеуі деп атайды

Ал енді нүктелі заряд координат басында тұрсын делік және заряд уақытқа тәуелді болсын делік. Онда потенциал U кез келген нүктеде, тек координат басында емес біртекті Даламбер теңдеуіне қанағаттанады

(19)

(19) шы теңдеуді шешу үшін сфералық координат жүйнсін r, пайдаланған жөн болады (4сурет). Нүктелі заряд координат жүйесінің басында болған соң оның U потенциалы бұрыштарына тәуелді болмайды.

(20)

Сурет 4

Егер ескеретін болсақ және U дан U₁ ауыссақ: U₁ =rU

(22)

(22) – ші теңдеудің жалпы шешімі мынандай түрде беріледі

(23)

(24)

Бірінші қосынды бір нүктеден шығып таралатын сфералық толқындарды сипаттайды, ал екінші қосынды бір нүктеге жиналатын сфералық толқындар-

ды сипаттайды.

Нүктелі зарядтардан текқана таралатын сфералық толқындар туындауы мүмкін, ал жиналатын бір нүктеге толқындар шағылу себептен пайда бола алады. Сонымен екінші қосындыны нөлге теңейміз. Потенциал статикалық жағдайда түрі бізге белгілі:

(25)

Сонымен (26)

Егер заряд кішкене көлемде шоғырланған болса

(27)

Мұнда (28)

кішкене dV көлемнің декарт координаты

x,y,z- бақылау нүктесі N ның декарт координаты, ал көлем

(5 сурет)

5 сурет

(27) - Даламбер теңдеуінің (13) жеке шешімі.

Дәл солай (11) теңдеуінің жеке шешімі былай болмақ:

(29)

Белгілі t- уақытында A, U потенциалдарды табу үшін біз әлде қайда ерте

уақытындағы кішкене dV көлемінде тоқ пен зарядты білу керек.

Сол себептен A мен U потенциалдарды кешігетін потенциалдар деп атайды.

Лекция 7