5.4 Знакоположительные ряды. Теоремы сравнения.
Ряд
называется знакоположительным, если
.
Теоремы, которые справедливы для знакоположительных рядов, справедливы для знакоотрицательных рядов, так, как умножение ряда на (-1), сходимость ряда не изменяет.
Теорема 5:
Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.
Доказательство. Дан знакоположительный ряд
,
,
,
=
+
+
…+
.
…..
….
Последовательность
частичных сумм
,
неубывающая. Для того, чтобы неубывающая
последовательность имела предел,
необходимо и достаточно, чтобы она была
ограничена сверху.
Теорема 6:
Пусть
даны два знакоположительных ряда
(1)
,
для которых выполняются неравенства
Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится. Если же ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.
Доказательство.
Справедливость теоремы вытекает из
неравенства
=
+
…+
+
+…
=
и теоремы 4. В самом деле, если ряд (2)
сходится, то последовательность {
}
ограничена сверху, тогда {
}
ограничена сверху и ряд (1) сходится.
Если ряд (1) расходится, то {
не ограничена сверху и тем более
не ограничена сверху. Следовательно,
ряд (2) расходится.
Замечание
1.
Учитывая теорему 3, можно утверждать,
что теорема 5 справедлива при выполнении
неравенств
,
.
Чтобы
применять теорему 5 при исследовании
сходимости рядов, нужно иметь набор
сходящихся и расходящихся рядов. Примером
сходящихся рядов могут служить
знакоположительные ряды из членов
геометрической прогрессии при q
,
а примерами расходящихся рядов могут
быть знакоположительные ряды из членов
геометрической прогрессии, при 1
.
Примером расходящегося ряда может служить гармонический ряд .
Ряды
Дирихле:
Ряды Дирихле мы исследуем позже с помощью интегрального признака Коши.
А
сейчас отметим, что ряды Дирихле при
1<S
сходятся, а
при S
расходятся.
Ряд Дирихле при S=1 является гармоническим рядом.
Пример
5: Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение:
0
,
.
Так как ряд Дирихле
сходится, то по теореме сравнения данный
ряд тоже сходится.
Пример
6: Исследовать
на сходимость ряд
Решение:
<
Так как гармонический ряд расходится,
то данный ряд тоже расходится.
Теорема 7:
Пусть
даны два знакоположительных ряда
(1)
;
для которых существует предел
= c
,
то ряды (1) и (2) либо одновременно сходятся,
либо одновременно расходятся.
Пример
7: Исследовать
на сходимость ряд
Решение:
так как Sinx
при x
то
данный ряд надо сравнить с рядом Дирихле
,
который сходится.
Рассмотрим
предел
= 1
0 в силу первого замечательного предела.
Следовательно, данный ряд сходится.
Лекция 6.
Тема : признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.
6.1 Признак Даламбера.
Теорема
1.
Пусть дан знакоположительный ряд
, для которого существует предел
Если q<1, то ряд сходится.
Если q>1, то ряд расходится.
Если q=1, то ряд может сходиться, а может и расходиться, то есть в этом случае надо проводить дополнительные исследования.
Доказательство:
так как
,то
это означает, что
–q|
<
, -
<
-
q<
,
q-
<
<q+
Пусть q<1. Выберем
такое чтобы q+
<1,
тогда для
будем
иметь
< q+
,
<
(q+
).
Полагаем n=N+1, N+2,…, получим:
<
(q+
),
<
(q+
)<
,
<
(q+
)<
,
……..
Это означает, что члены ряда
+
+…..
(1)
будут меньше соответствующих членов ряда
+
+
+………
(2)
Ряд (2) является рядом из членов геометрической прогрессии со знаменателем q+ <1. Следовательно ряд (2) сходится, а по теореме сравнения сходится и ряд (1). Так ряд получится из ряда (1) прибавлением конечного числа первых членов, то ряд сходится. Таким образом, первое утверждение теоремы доказано.
Пусть q>1. Выберем , чтобы q- >1. В этом случае выполняются неравенства
q- < или (q+ ) < . Отсюда следует, что общий член ряда к нулю не стремится. По необходимому признаку сходимости ряд расходится. Утверждение (2) доказано.
Приведем примеры рядов, для которых =1, и в тоже время один ряд сходится, а другой расходится.
Пример
1.
,
.
Данный ряд сходится, так как это ряд Дирихле с показателем S=2>1
Пример
2.
,
.
Ряд.
является гармоническим рядом, который
расходится.
Теорема доказана.
Пример
3.
Исследовать на сходимость ряд
Решение.
;
;
=
.
По признаку Даламбера ряд сходится.