4.2 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости.

В этом параграфе выясним условия, при выполнении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек интегрирования.

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру в этой области равнялся нулю.

Доказательство: Необходимость. Дано: не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Пусть в рассматриваемой области D взят произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур Г. На контуре Г возьмем произвольные точки B и C.

Т ак как не зависит от пути интегрирования, то

, т.е.

Достаточность. Дано: Криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Требуется доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл по двум кусочно-гладким контурам, соединяющим точки B и С. По условию:

т.е. криволинейный

интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2. Пусть непрерывны вместе с частными производными и в односвязной области D. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось тождество

Доказательство: Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что не зависит от пути интегрирования. Для этого достаточно доказать, что равен нулю по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру . По формуле Грина имеем:

Необходимость. Дано: По теореме 1 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что

Доказательство: Доказательство проведем от противного. Предположим, что

, т.е. в некоторой точке М₀(x_0,y₀). Пусть для определенности _M0>α>0. По условию и непрерывны в точке М_0, поэтому существует круг u(М_0,r) c центром в точке М₀ некоторого радиуса r>0, который лежит в области D и в котором выполняется неравенство - _M0>α. Окружность с центром в точке М₀ радиуса r обозначим через γ. По формуле Грина имеем:

,

что противоречит условию, т.к. по условию криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и по теореме 1. криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.▼

4.3 Вычисление криволинейного интеграла, который не зависит от пути интегрирования.

Если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то он зависит только от начальной и конечной точек интегрирования, и такой интеграл записывают в следующем виде:

, где - начальная точка интегрирования, а ( -конечная точка интегрирования.

Этот интеграл проще вычислять по ломанной, соединяющей эти точки

BC:

CD:

Имеем:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение: P(x,y)= y, Q(x,y) = x, ,

Функции P(x,y), Q(x,y), , непрерывны во всей плоскости и выполняется тождество

во всей плоскости. Следовательно, данный интеграл не зависит от пути интегрирования.