13.2 Решение обыкновенных дифуравнений с постоянными коэффициентами.
Решить дифуравнение с начальными условиями
Решение.
.
В данном дифуравнении переходим к изображениям.
.
По таблице для X(p)
находим оригинал х(t)=cost.
.
Решение.
,
,
.
Правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших рациональных дробей.
.
После
приведения левой и правой части равенства
к общему знаменателю, приравниваем
числители:
а)
p=0, 2=-3A, A=-
б)
p=-3, 5=12B, B=
в)
p=1, 1=4C, C=
.
Переходя
к оригиналу получим:
Лекция 14
Тема: Интегрирование систем дифференциальных уравнение с постоянными коэффициентами.
Предварительно напомним теорему о дифференцировании оригинала. Пусть , тогда
.
Пример 1. Решить систему
если
Решение. Используя теорему о линейности изображения и теорему о дифференцировании оригинала, перейдем к операторной системе.
Для упрощения рассмотрим сумму и разность уравнений системы:
Переходя к оригиналам, получим решение системы:
Пример 2. Решить систему:
если
Переходим к операторной системе.
Решение системы находим по формулам Крамера.
Разложим правильные рациональные дроби на сумму простейших рациональных дробей.
Обе части приведем к общему знаменателю, а затем приравняем числители.
Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях p в левой и правой частях тождества.
Далее,
Приводим обе части равенства к общему знаменателю, а затем приравниваем числители.
Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях p в левой и правой частях тождества
Следовательно,
Таким образом, решение системы имеет следующий вид:
Лекция 15
Тема: Ряды Фурье для 2 периодической функции. Теорема Дирихле. Разложение 2 l периодической функции в ряд Фурье.
15.1 Ряды Фурье для 2 периодической функции.
Пусть
на [a,b]
задана система функций
Определение
1.
Система функций
называется ортогональной на [a,b],
если
,
.
Предварительно
докажем, что тригонометрическая система
1, Cosx,
Sinx,
Cos2x,
Sin2x,…Cosnx,
Sinnx,…
ортогональна на отрезке [
].
=0,
n = 1,2,…
=0,
n = 1,2,…
=0,
n
=0
=0,
n
Вычислим еще следующие интегралы:
=
-
n
= 1,2,…
=
.
Пусть дан тригонометрический ряд :
,который
сходится к S(x).
S(x)
должна быть 2
– периодической.
Будем предполагать, что равенство (1), умноженное на cosnx или sinnx, можно почленно интегрировать.
В результате получим:
,
в силу ортогональности тригонометрической
системы.
;
,
, n=1,2,…
+
,
, n=1,2,…
Таким образом, зная сумму тригонометрического ряда, можно найти коэффициенты тригонометрического ряда.
Пусть дана 2 периодическая функция f(x) для которой существуют интегралы:
,
,
, n=1,2,…
Функции f(x) можно поставить в соответствие тригонометрический ряд:
f
(x)
(2)
Ряд (2) называется рядом Фурье функции f(x),
, n=1,2,…, , n=1,2,…
называются коэффициентами ряда Фурье. Предварительно дадим два определения.
Определение 2. Функция f(x) называется кусочно - непрерывной на отрезке, если данный отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция является непрерывной.
Определение 3. Функция f(x) называется кусочно - монотонной на отрезке, если отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция не убывает либо не возрастает.
Теорема Дирихле.
Если
2
периодическая функция на отрезке
кусочно –непрерывна, кусочно- монотонна
и ограничена, то она разлагается в ряд
Фурье, который в точках непрерывности
сходится к значению функции, а в точках
разрыва первого рода сходится к среднему
арифметическому пределов слева и
справа, т.е.
.
Разложение четных и нечетных 2 периодических функций в ряд Фурье.
f(x) - четная функция, тогда
,
n=0,1,2,…,
т.к. подынтегральная функция является
четной
=0, n=1,2,… т.к. f(x)Sinnx нечетная функция.
f(x)
.
f(x)- нечетная функция , тогда
,
n=0,1,2,…,т.к
f(x)
Cosnx-
нечетная функция.
=
f(x)
.
Пример
1.
Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x,
Решение. Данная функция в промежутке ) монотонна, непрерывна и ограничена. Следовательно, по теореме Дирихле она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к f(x), а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Функцию f(x) периодически продолжаем с периодом 2 . Ряд Фурье в точках x= (2k+1) , которые являются точками разрыва 1 го рода, сходится к нулю.
Так
как данная функция нечетная, то
,
n=
0,1,2,…
=
|
+
dv=Sinnxdx
, v = -
=
f(x)=
2
.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)= |x|,
Решение. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле, поэтому она разлагается в ряд Фурье.
Функцию f(x) периодически продолжаем с периодом 2 .
Ряд
Фурье в точках разрыва 1 го рода х= (2к+1)
сходится к
.
Так как функция f(x)
четная, то
n=
1,2,… При вычислении
надо
вычислить
отдельно.
=
|
,
dv=
Cosnxdx , v =
=
-1)=
f(x)=
.