Функции комплексного переменного.
Определение
1:
Говорят, что на множестве Е точек
комплексной плоскости z
задана функция w=f(z),
если по вполне определенному закону
каждой точке
ставится в соответствие точка w
или совокупность точек. В первом случае
функция называется однозначной, а во
втором случае многозначной.
Множество Е называется множеством определения функции f(z), а множество Q всех значений w, которые принимает f(z) на Е, - множеством ее изменения. Наиболее важным случаем является тот, когда Е и Q являются областями.
Если
положить z=x+iy,
a
w=U(x,y)+i
(x,y),
то задание функции комплексного
переменного w=f(z)
равносильно заданию двух функций двух
переменных U(x,y)
и
(x,y).
Функция U(x,y)
называется действительной частью, а
(x,y)
– мнимой частью функции w=f(z).
Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного.
Пусть
функция w=f(z)
определена и однозначна в некоторой
окрестности точки
,
кроме, быть может самой точки
.
Будем
говорить, что предел функции w=f(z)
существует при
,
если существуют оба предела
,
при этом будем полагать:
.
Так как определение предела функции f(z) сводится к определению предела действительных функций, то теоремы о пределе суммы, произведения, частного сохраняются и для функций комплексного переменного.
Определение 2: Определение предела функции комплексного переменного можно сформулировать и с помощью понятия окрестности.
Число
называется пределом функции W=f(z)
в точке
,
если
, то
.
Отметим, что f(z)
стремится к
независимо от способа приближения точки
z
к
.
Таким образом, если
,
то при стремлении z
к
по
какой-либо линии, f(z)
будет стремиться к
.
Определение
3:
Пусть функция W=f(z)
определена в некоторой окрестности
точки
(включая
саму точку
).
Функция W=f(z)
называется непрерывной в точке
,
если предел функции в точке
равен значению функции в этой точке,
т.е.
.
Отметим,
для того, чтобы функция f(z)=U(x,y)+
(x,y)
была непрерывной в точке
необходимо и достаточно, чтобы обе
функции U(x,y)
и
(x,y)
были непрерывны в точке
.
Так как определение непрерывности функции комплексного переменного аналогично определению непрерывности функции действительного переменного, то теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного остаются справедливыми и для функций комплексного переменного.
Определение 4: Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z, включая саму точку z. Производной функции f(z) в точке z называется предел:
В этом случае говорят, что функция f(z) дифференцируема в точке z.
Условия дифференцируемости функции f(z)=U(x,y)+ (x,y) в терминах действительных функций U(x,y) и (x,y) выражаются в следующей теореме:
Теорема. (Условия Коши-Римана)(Эйлера-Даламбера).
Пусть f(z)=U(x,y)+ (x,y) определена в некоторой окрестности точки z, причем U(x,y) и (x,y) непрерывны в точке z вместе со своими частными производными первого порядка. Для того, чтобы f(z) имела в точке z производную (f(z) была дифференцируема в точке z) необходимо и достаточно выполнение условий:
(условия
Коши-Римана).
Доказательство.
Необходимость.
Дано: f(z)
в точке z
имеет производную. Требуется доказать,
что выполняются равенства
.
Так как
существует, то
,
где
Пусть
,
тогда
.
Далее,
положим, что
=0,
тогда
.
Отсюда следует равенство
=
.
Так как два комплексных числа равны, то
равны соответственно их действительные
и мнимые части,
и
.
Это означает, что выполняются условия
Коши-Римана.
Достаточность.
Дано
,
.
Требуется доказать, что
существует.
Так как U(x,y) и (x,y) имеют непрерывные частные производные в точке (х,у), то они дифференцируемы в этой точке. Это означает, что
,
где
+
,
где
.
Далее имеем:
,
где
Учитывая условия Коши-Римана, будем иметь:
Так как обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются обычные правила дифференцирования.
,
где u=g(z);
,
где f(z)
и
взаимно обратные функции.
C
учетом условий Коши-Римана, производную
f’(z)
можно находить по формуле:
.
Определение 5. Функция называется аналитической в области, если она имеет производную в каждой точке этой области.
Отметим, что понятие аналитической функции относится только к однозначным функциям, т.к. понятие предела и производной было дано для однозначных функций.
Пример
1.
Проверить выполнение условий Коши-Римана
для функции
и найти ее производную.
Решение.
Следовательно, , кроме этого отметим, что U(x,y) и (x,y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на всей плоскости. Таким образом, условия Коши-Римана выполняются. Производную найдем по формуле:
.
