8.16. Граничні умови поля

Граничними (краєвими) вважають умови, які визначають поле на межі розділу середовищ з різними електростатичними властивостями.

На межі провідне тіло – діелектрик за відсутності струму через провідне тіло виконуються дві умови:

1) відсутня тангенціальна (дотична до поверхні) складова напруженості поля:

; (8.41)

2) вектор електричного зміщення в будь-якій точці діелектрика, яка безпосередньо близько прилягає до поверхні провідного тіла, чисельно рівний густині заряду на поверхні провідного тіла у тій же точці:

. (8.42)

На межі розділу двох діелектриків з різними діелектричними проникностями виконуються наступні умови:

1) рівні тангенціальні складові напруженості поля:

; (8.43)

2) рівні нормальні складові електричної індукції:

. (8.44)

8.17. Поле зарядженої осі

Під зарядженою віссю розуміють досить тонкий і теоретично нескінченно довгий металічний провідник, одиниця довжини якого має заряд .

Нехай діелектрична проникність середовища, в якому знаходиться вісь, рівна . Для визначення напруженості поля в деякій точці М, яка віддалена на відстань від осі (рис. 8.14), проведемо через точку М циліндричну поверхню так, щоб її вісь співпала із зарядженою віссю.

Застосуємо теорему Гаусса до замкненої поверхні циліндра: бічної поверхні і двох його денець. Потік вектора напруженості є тільки через бічну поверхню циліндра:

. (8.22,а)

Через денце потік вектора відсутній, так як і .

Елемент бічної поверхні і вектор напруженості поля в будь-якій точці бічної поверхні циліндра співпадають за напрямком і тому:

. (8.22,б)

На підставі (8.27) і (8.22, б):

;

або . (8.45)

Таким чином, напруженість у полі зарядженої осі змінюється обернено пропорційно відстані від зарядженої осі.

Підставивши у формулу (8.29) вираз (8.45), визначимо потенціал електричного поля :

(8.46)

тобто, потенціал у полі зарядженої осі змінюється за логарифмічним законом в залежності від відстані до зарядженої осі.

8.18. Поле двох заряджених осей

Нехай дві паралельні заряджені осі проходять через точки А і В (рис. 8.15) і одна вісь має на одиницю довжини заряд , а друга – заряд .

В ізьмемо в полі осей довільну точку М, в якій результуюча напруженість поля рівна геометричній сумі напруженостей від обох зарядів. Відстані точки М до заряджених осей позначимо через а і в.

П

отенціал точки М, як функція скалярна, рівний сумі потенціалів від кожної осі зокрема:

(8.47)

Рівнянням еквіпотенціалі у полі двох заряджених осей служить вираз: .

Еквіпотенціаль являє собою сукупність точок, відношення відстаней яких до двох заданих точок є величина стала. У відповідності з теоремою Аполлонія таким геометричним місцем є коло. Для побудови його сполучимо точку М з осями (точки А і В на рис. 1.15), проведемо бісектрису М1 внутрішнього і бісектрису М2 зовнішнього . Точки 1 і 2 перетину бісектрис з лінією, проведеною через заряджені осі, і точка М будуть трьома точками шуканого кола, центр якого (точка 0) знаходиться на середині відрізка 1 – 2.