8.12. Теорема Гаусса в диференціальній формі

За допомогою теореми Гаусса в інтегральній формі неможливо визначити взаємозв’язок витоку ліній вектора електричної індукції у даній точці поля з густиною зарядів у цій же точці.

Цю задачу можна розв’язати за допомогою теореми Гаусса в диференціальній формі. Щоб прийти до неї, поділимо обидві частини рівності (8.26) на скалярну величину – об’єм :

(8.26,а)

і спрямуємо цей об’єм до нуля:

. (8.26,б)

Якщо , то й також, але відношення двох нескінченно малих величин є величиною кінечною.

Границю відношення потоку векторної величини крізь замкнену поверхню, що охоплює деякий об’єм , до величини цього об’єму називають дивергенцією (розходженням) вектора ( ) або витоком вектора .

У правій частині рівності (8.26, б) є об’ємна густина вільних зарядів ( ).

Таким чином, теорему Гаусса в диференціальній формі записують наступним чином (перша форма запису):

, (8.30)

т обто, витік ліній вектора електричної індукції у даній точці поля визначається величиною густини вільних зарядів у цій же точці.

Якщо об’ємна густина зарядів додатна ( ), то із нескінченно малого об’єму, що охоплює дану точку поля, лінії вектора виходять і витік є додатним (рис. 8.11, а).

Якщо у даній точці поля , то в нескінченно малий об’єм, усередині якого знаходиться дана точка, лінії вектора входять (рис. 8.11, б) і витік є відємним.

Якщо ж у деякій точці поля , то в даній точці поля немає ні витоку, ні стоку ліній вектора , тобто в даній точці лінії вектора не починається і не закінчуються (рис. 8.11, в).

Враховуючи, що , вираз (8.30) запишеться:

.

Якщо середовище однорідне й ізотропне, то його діелектрична проникність і її можна винести за знак дивергенції:

.

Звідси одержуємо другу форму запису теореми Гаусса:

, (8.30, а)

яка справедлива тільки для однорідного й ізотропного середовища. Для неоднорідного середовища є функцією координат і тому його не можна винести за знак дивергенції.

Рівність (8.27, а) у диференціальній формі записують так (третя форма запису):

. (8.30, б)

Отже, витоком вектором вектора на відмінність від витоку вектора є не тільки вільні, а й зв’язані заряди.

8.13. Дивергенція напруженості поля

У попередньому параграфі було дане визначення , як границі відношення потоку векторної величини крізь замкнену поверхню, яка охоплює деякий об’єм , до величини цього об’єму, коли .

Вираз дивергенції вектора в декартовій системі координат:

. (8.31)

У п. 8.6 було доведено, що помноження оператора набла на скалярну функцію рівносильне взяттю градієнта від цієї функції ( ).

Доведемо, що скалярне помноження оператора на векторну функцію, наприклад, на функцію , означає взяття дивергенції від цієї векторної функції.

Добуток можна записати:

(8.32)

У цьому добутку при почленному перемноженні складових двох дужок враховано, що скалярний добуток однойменних ортів рівний одиниці, а скалярний добуток різнойменних ортів рівний нулю, тобто:

Праві частини виразів (8.31) і (8.32) рівні, а, значить, повинні бути рівні і їх ліві частини:

, (8.33)

тобто помноження оператора на вектор означає взяття дивергенції від цього вектора.

Вирази в циліндричній і сферичній системах координат відповідно записуються:

(8.34) (8.35)