8.9. Вектор електричної індукції

Вектор електричної індукції (вектор електричного зміщення) рівний сумі двох векторів:

[ ]. (8.25)

Вектор характеризує поле у вакуумі, а вектор – здатність діелектрика поляризуватись у даній точці електричного поля.

Враховуючи, що

вираз (8.25) запишеться:

(8.25,а)

де – абсолютна діелектрична проникність речовини, ; – діелектрична проникність вакууму (електрична постійна), ; – відносна діелектрична проникність.

8.10. Теорема Гаусса в інтегральній формі

Теорема Гаусса відповідає закону Кулона й принципу накладання і є однією з важливих теорем електростатики.

Теорема може бути сформульована і записана трьома способами:

1. Потік вектора електричної індукції через будь-яку замкнену поверхню, що охоплює деякий об’єм, рівний алгебраїчній сумі вільних зарядів, які знаходяться всередині цієї поверхні:

, (8.26)

тобто вектор є такою характеристикою поля, яка при інших рівних умовах не залежить від діелектричних властивостей середовища (від величини ).

2. Враховуючи, що , вираз (8.26) для ізотропного й однорідного середовища можна записати так:

або

, (8.27)

тобто потік вектора напруженості електричного поля крізь будь-яку замкнену поверхню рівний сумі вільних зарядів, які знаходяться всередині цієї поверхні, поділеній на середовища.

З формули (8.27) випливає, що вектор являє собою характеристику поля, яка на відмінність від вектора при інших рівних умовах залежить від діелектричних властивостей середовища (від величини ).

3. Потік вектора крізь будь-яку замкнену поверхню створюється не тільки сумою вільних зарядів ( ), а й сумою зв’язаних зарядів ( ), що знаходиться всередині цієї поверхні:

. (8.27,а)

8.11. Визначення характеристик поля за теоремою Гаусса

Теорему Гаусса в інтегральній формі можна застосувати для знаходження напруженості або потенціалу в будь-якій точці поля, якщо через цю точку можна провести замкнену поверхню так, щоб усі точки цієї поверхні були симетричними відносно заряду, що знаходиться всередині цієї поверхні.

Такою поверхнею може бути сфера, якщо заряд точковий, або бічна поверхня циліндра, якщо заряд «лінійний». При цьому, завдяки симетрії всіх точок поверхні відносно заряду, числове значення напруженості поля в цих точках буде одне й те ж.

З астосуємо теорему Гаусса для знаходження напруженості поля, яку створює точковий заряд у точці А (рис. 8.11), яка знаходиться на відстані від заряду. Для цього проведемо через точку А сферичну поверхню радіусом і, вважаючи, що заряд знаходиться у центрі сфери, використаємо теорему Гаусса.

Вектор , який зображає собою елемент поверхні , перпендикулярний до поверхні сфери і направлений в сторону зовнішньої нормалі . Отже, в кожній точці сфери вектори і мають однаковий напрямок.

Враховуючи, що числове значення напруженості у всіх точках одне й те ж, його можна винести з-під знаку інтеграла:

.

Тоді, на підставі рівності (8.27):

.

Звідси знаходимо напруженість, яку створює заряд на відстані від себе:

. (8.28)

У сферичній системі координат завдяки сферичній симетрії напруженість має тільки одну радіальну складову.

. (8.28, а)

Тоді

або (8.29)