8.6. Диференціальний оператор Гамільтона

Під диференціальним оператором Гамільтона (оператором набла) розуміють суму частинних похідних за трьома координатними осями, помножених на відповідні одиничні вектори (орти). Вираз оператора набла в декартовій системі координат має вигляд:

. (8.17)

Оператор набла поєднує в собі диференціальні й векторні властивості і може бути застосований як до скалярних, так і до векторних функцій. Ту функцію, над якою хочуть провести операцію диференціювання по координатах, записують справа від оператора набла. Наприклад, застосувавши оператор до потенціалу , одержимо:

(8.18)

У виразах (8.13) й (8.18) праві частини однакові, і, значить, рівні їх і ліві частини:

, (8.19)

тобто запис еквівалентний запису , а приписування зліва до будь-якої скалярної функції оператора означає взяття градієнта від цієї функції.

У циліндричній системі координат (рис. 8.6):

. (8.20)

У сферичній системі координат (рис. 8.7):

. (8.21)

8.7. Потік вектора через поверхню

Н ехай у полі вектора напруженості поля знаходиться елементарна поверхня площею з однієї сторони (рис. 8.8). При вибраному додатному напрямку нормалі до елемента поверхні вектор елементарної поверхні в деякому масштабі рівний площі , а його напрямок співпадає з додатним напрямком нормалі.

Будемо вважати, що площа елемента достатньо мала так, щоб в її межах вектор був незмінним у всіх її точках.

Якщо , то вектор не буде пронизувати елемент поверхні; якщо , то через елемент поверхні буде проходити максимальний потік вектора . В загальному випадку потік вектора через елемент визначається скалярним добутком алгебраїчного характеру, тобто він може бути як додатним, так і від’ємним. Додатне значення потоку означає, що він направлений в сторону вектора ; від’ємне його значення – що він спрямований в протилежну сторону.

Якщо поверхня, через яку визначають потік вектора, досить велика, то не можна вважати, що у всіх її точках напруженість одна й та ж. В цьому випадку поверхню ділять на окремі елементи нескінченно малих розмірів і повний потік вектора через поверхню визначають як суму потоків через усі елементи поверхні:

. (8.22)

8.8. Поляризація речовин. Вектор поляризації

Кожна речовина містить у собі як вільні, так і зв’язані заряди.

Електричні заряди, які під дією сил поля можуть вільно переміщуватись у речовині, називають вільними; причому їх переміщення не обмежують внутрішні молекулярні сили.

Електричні заряди, які входять до складу речовини й утримуються в певному положенні внутрішніми молекулярними силами, називають зв’язаними, так як вони «зв’язані» з речовиною і не піддаються відділенню від неї. У кожній речовині сума додатних зв’язаних зарядів рівна сумі від’ємних.

Якщо будь-який діелектрик помістити в електричне поле, то він поляризується, тобто відбувається упорядкована зміна розміщення в тілі зв’язаних зарядів, яку викличе електричне поле: від’ємні зв’язані заряди діелектрика змістяться в напрямку більш високого потенціалу, а додатні зв’язані заряди – до більш низького потенціалу. Заряди змістяться настільки, що сили з якими поле діє на зв’язані заряди, зрівноважаться внутрішніми молекулярними силами.

Якщо два рівних за величиною і протилежних за знаком заряди і знаходяться на відстані один від одного, то добуток визначає електричний момент цих зарядів, – вектор, який направлений від заряду до заряду (рис. 8.9).

У поляризованій речовині молекули в електричному відношенні являють собою диполі, які під дією зовнішнього електричного поля намагаються орієнтуватись у просторі таким чином, щоб їх електричний момент був спрямований паралельно вектору напруженості (рис. 8.10).

Електричний момент суми диполів, які знаходяться в одиниці об’єму речовини, називають вектором поляризації (поляризованістю) речовини і позначають літерою :

, [ ]. (8.23)

Для більшості діелектриків вектор пропорційний напруженості поля :

. (8.24)

Коефіцієнт пропорційності називають електричною сприйнятливістю.

У залежності від процесів, які протікають в діелектриках при поляризації, останні можна поділити на дві групи.

До першої групи відносять діелектрики, молекули яких при відсутності зовнішнього електричного поля нейтральні, а під дією поля в них змішується центр дії додатних зарядів в напрямку поля, а центр від’ємних зарядів – проти поля. В результаті молекула стає диполем.

У другу групу входять діелектрики, молекули яких при відсутності зовнішнього електричного поля являють собою диполі, електричні поля яких взаємно нейтралізовані внаслідок теплового руху. Поляризація в них полягає в тому, що полярні молекули намагаються повернутися так, щоб їх електричний момент був направлений узгоджено із зовнішнім електричним полем.