11.7. Теорема Умова-Пойнтинга в комплексній формі запису

Повна потужність у колі синусоїдного струму виражається формулою:

(11.13)

Реактивна потужність послідовного - кола:

(11.14)

де ; ; .

Таким чином, реактивна потужність рівна різниці між магнітною і електричною енергіями кола, помноженій на подвоєну частоту .

Подібно до того, як в колі синусоїдного струму для обчислення комплексної потужності необхідно помножити комплексну напругу на спряжений комплексний струм , в теорії поля застосовують поняття комплексного вектора Пойнтинга:

(11.15)

Тоді замість виразу рівності (11.12) можна записати:

. (11.16)

Використавши вирази першого та другого рівняння Максвелла в комплексній формі запису:

(11.6)

(11.7)

запишемо вираз ротора спряженого значення напруженості у вигляді:

Підставимо вираз у праву частину рівності (11.16):

де і .

Тоді рівність (11.16) запишеться:

(11.17)

Перший доданок у правій частині рівності (11.17) являє собою активну потужність , а другий згідно з (11.14) реактивну потужність . Таким чином, теорема Умова-Пойнтинга може бути записана наступним чином:

(11.17, а)

Теорема Умова-Пойнтинга дає можливість зробити висновок, що електромагнітна енергія від місця її генерування передається до місця споживання через діелектрик, який оточує з’єднувальні проводи. Ці проводи виконують подвійну роль: вони служать організаторами структури поля в діелектрику і каналами, якими проходить струм, але самі являються споживачами енергії, що поступає в провідник ззовні і перетворюється в тепло.

Ц е можна проілюструвати на прямолінійному проводі радіусом (рис. 11.2) при проходженні через нього постійного струму. При цьому навколо проводу збуджується магнітне поле, напруженість якого на поверхні проводу рівна і направлена по дотичній до кола поперечного перерізу.

Напруженість електричного поля рівна сумі нормальної і тангенціальної складових напруженості:

де

Потужність, яка поступає в провід ззовні, на довжині :

так як: ; і густина струму:

533