11.5. Рівняння Максвелла в комплексній формі

Рівняння Максвелла (11.1) і (11.5), наведені вище, записані для миттєвих значень:

; (11.1)

. (11.5)

Якщо напруженості і змінюються в часі за синусоїдним законом, то використавши комплексний метод, ці рівняння можна записати в іншій формі.

Нехай:

;

.

В икориставши знак відповідності « », можна записати комплексні зображення цих функцій:

;

.

Комплексні амплітуди напруженостей:

;

.

Таким чином,

;

.

Оскільки напруженості і , крім того, що вони змінюються за синусоїдним закон, являються функціями векторними, тобто, певним чином орієнтованими в просторі векторами, то над ними будемо ставити і риску і крапку: ; .

Тоді вираз можна замінити на вираз:

і, врахувавши, що:

,

записати:

і замінити на

.

Тут множник – величина стала ( ), яка не залежить від координат. Отже, її можна винести за знак ротора.

Тоді рівняння (11.1) запишеться:

.

Скоротивши на , одержимо вираз першого рівняння Максвелла в комплексній формі:

. (11.6)

Друге рівняння Максвелла в комплексній формі запишеться аналогічно:

. (11.7)

11.6. Теорема Умова-Пойнтинга для миттєвих значень

Крім рівнянь Максвелла в теорії електромагнітного поля особливе місце займає теорема Умова-Пойнтинга, яка описує енергетичні співвідношення в електромагнітному полі.

Вказана теорема має дві форми запису: а) для миттєвих значень будь-яких змінних величин; б) комплексна форма – для синусоїдних величин.

Оскільки, енергія електричного поля в одиниці об’єму рівна , а енергія магнітного поля в одиниці об’єму – , то енергія в об’ємі запишеться виразом:

.

Для того, щоб утворити вираз, в який увійшла б повна енергія в об’ємі , помножимо рівність (11.1) на , а рівність (11.5) – на :

. (11.8)

. (11.9)

Віднімемо від рівності (11.8) рівність (11.9):

.(11.10)

Використавши формулу:

,

ліву частину (11.10) запишемо: .

Отже,

(11.10,а)

Для спрощення запису позначимо векторний добуток через , тобто приймемо: .

Вектор називають вектором Пойнтинга. Його розмірність рівна добутку розмінностей і :

Т аким чином, вектор Пойнтинга має розмірність потужності (енергії за одиницю часу), яка віднесена до одиниці площі поверхні, і напрямок його (рис. 11.1) співпадає з напрямком руху вітряка правоходового гвинта, коли його головку повертати по найкоротшому шляху від вектора до вектора .

Отже,

. (11.11)

Поширимо вираз (11.11) на деякий об’єм кінечних розмірів. Для цього проінтегруємо (11.11) по об’єму :

. (11.11, а)

Використавши теорему Остроградського-Гауса, перетворимо об’ємний інтеграл у поверхневий:

Тоді теорема Умова-Пойнтинга для миттєвих значень прийме вигляд:

. (11.12)

Ліва частина рівності (11.12) виражає собою потік вектора Пойнтинга крізь будь-яку замкнену поверхню , що обмежує деякий об’єм , всередину цього об’єму.

За рахунок знаку «-» у лівій частині виразу (11.12), ліва частина – величина додатна. Доведемо це. Елемент поверхні у будь-якій точці поверхні направлений в сторону зовнішньої відносно даного об’єму нормалі.

Вектор Пойнтинга направлений усередину цього об’єму. Оскільки, кут між векторами і більший від прямого, то скалярний добуток , а , що й треба було довести.

Згідно з рівнянням Джоуля-Ленца в диференціальній формі запису виражає енергію, що виділяється у вигляді тепла в одиниці об’єму за одиницю часу. Тоді – енергія, що виділяється у вигляді тепла в об’ємі . – швидкість зміни запасу електромагнітної енергії в одиниці об’єму. Але швидкість зміни електромагнітної енергії – це потужність.

Таким чином, потік вектора Пойнтинга крізь будь-яку замкнену поверхню, що обмежує деякий об’єм , рівний сумі потужностей: потужності, яка виділяється в об’ємі у вигляді тепла і потужності, яка витрачається на приріст енергії електромагнітного поля.

Теорему Умова-Пойнтинга слід трактувати як рівняння енергетичного балансу: ліва частина рівності (11.12) – це потужність (енергія за одиницю часу), яка достачається у вигляді потоку вектора Пойнтинга усередину деякого об’єму , а права частина – енергія, яка витрачається за одиницю часу всередині цього об’єму.

Співвідношення (11.12) було отримано при допущенні, що всередині об’єму : а) середовище однорідне й ізотропне; б) відсутня відбита хвиля енергії; в) відсутні джерела електрорушійної сили.

Якщо електромагнітне поле не змінюється в часі, то:

і тоді згідно з (11.12):

(11.12, а)