10.12. Метод дзеркальних зображень

Цей метод застосовують для розрахунку магнітних полів, створених лінійними струмами, що протікають поблизу сталевих мас. Нехай у повітрі чи в якомусь іншому середовищі з магнітною проникністю паралельно площині розділу середовищ пролягає провід зі струмом (рис. 10.9, а). Суміжне середовище має магнітну проникність . Визначимо напруженість поля в довільній точці обох середовищ. З цією метою введемо в розрахунок фіктивні (розрахункові) струми й . Провід зі струмом розмістимо дзеркально відносно проводу зі струмом , а провід зі струмом розмістимо там, де знаходиться провід зі струмом .

Двома поки-що невідомими струмами й розпорядимось таким чином, щоб задовольнити граничні умови на межі розділу двох середовищ:

; .

П оле у верхньому півпросторі буде визначатись двома струмами: заданим струмом і розрахунковим струмом , причому, як верхній, так і нижній півпростори заповнює середовище з магнітною проникністю .

Поле в будь-якій точці нижнього півпростору визначається струмом , а верхній і нижній півпростори мають проникність (рис. 10.9, в).

Складемо рівняння для визначення струмів й . Якщо взяти довільну точку на межі розділу середовищ, то її можна вважати приналежною як до першого, так і до другого середовища. Якщо точка належить першому середовищу, то тангенціальна складова напруженості поля в ньому буде відповідати лівій частині рівняння (10.32), а якщо другому середовищу, – то правій частині (10.32):

або . (10.32)

Звідси одержуємо перший зв’язок між струмами:

. (10.32,а)

Щоб одержати другий зв’язок, складемо рівняння, яке виражає собою рівність нормальних складових магнітної індукції в довільній точці на межі розділу середовищ:

або ,

тобто . (10.32, б)

Сумісний розв’язок рівнянь (10.32, а) й (10.32, б) дає:

; . (10.33)

Для прикладу визначимо напруженості магнітного поля, які створює постійний струм в точках і суміжних середовищ (рис. 10.10, а) з відносними магнітними проникностями: і ; точки і знаходяться на однаковій відстані від осі проводу і від лінії розділу середовищ.

Розв’язання. Використовуючи формули (10.33), знаходимо:

;

.

Для визначення напруженості поля в точці , яка знаходиться в тому ж півпросторі, що й струм (в тому ж середовищі) служить рис. 10.10, б.

Вектор напруженості – це дотична до магнітної силової лінії радіусом , а вектор – дотична до магнітної силової лінії радіусом . Величина вектора результуючої напруженості струмів й :

.

На підставі закону повного струму:

;

;

де .

Графічним шляхом знаходимо . Напруженість магнітного поля в точці (рис. 10.10, в):

.

На рис. 10.11, а наведено якісну картину ліній магнітної індукції для випадку, коли провід зі струмом проходить через повітря паралельно поверхні стальної плити; на рис. 10.11, б – коли провід зі струмом проходить через вузький канал у стальній плиті паралельно поверхні плити.