10.6. Скалярний потенціал магнітного поля

Для сукупності точок, де , і магнітне поле можна розглядати як потенціальне, тобто як поле, кожна точка якого має скалярний магнітний потенціал . Таким чином, для таких областей можна прийняти:

. (10.20)

Так як , то при . Підставивши сюди згідно з (10.20) вираз заміть , одержимо:

.

Таким чином, скалярний потенціал поля, про який може йти мова для ділянок, не зайнятих струмом, визначається рівнянням Лапласа:

. (10.21)

Різницю скалярних магнітних потенціалів між точками 1 і 2 називають спадом магнітної напруги між цими точками:

. (10.22)

Спад магнітної напруги між точками 1 і 2 по деякому одному шляху 1-3-2 (рис. 10.5, а) рівний спаду магнітної напруги між цими ж точками по якомусь іншому шляху, наприклад по шляху 1-4-2 в тому випадку, коли ці шляхи утворюють замкнений контур, струм усередині якого рівний нулю, тобто:

.

Я кщо ж замкнений контур, який утворений двома шляхами, охоплює деякий струм, то спад магнітної напруги по першому шляху не рівний спаду напруги по другому шляху:

.

Згідно з законом повного струму вони будуть відрізнятись на величину струму, охопленого цим контуром.

Слід зауважити, що поняття «спад магнітної напруги» і «магнітна напруга» не ідентичні. Перше поняття визначається лише лінійним інтегралом уздовж вибраного шляху, а друге – не тільки цим інтегралом, але й магніторушійною силою , що є на шляху. Тут існує повна аналогія з поняттям «спад напруги» і «напруга» в електричному колі.

10.7. Граничні умови

На межі розділу двох однорідних середовищ (рис.10.5, б), які різні в магнітному відношенні ( ), рівні тангенціальні складові векторів напруженостей і та нормальні складові векторів магнітних індукцій і :

; (10.23)

. (10.24)

З цих рівностей і з рис. 10.5, б випливає співвідношення:

, (10.25)

яке дає зв’язок між кутом падіння і кутом заломлення (рис. 10.5, б).

Якщо магнітні силові лінії виходять із середовища з великою магнітною проникністю, наприклад , в середовище з малою магнітною проникністю, наприклад в повітря ( ), то:

і ,

звідки , тобто, кут заломлення набагато менший від кут падіння .

10.8. Векторний потенціал магнітного поля

При розрахунку магнітних полів широко використовують векторний потенціал, або вектор-потенціал магнітного поля . Це векторна величина, що плавно змінюється від точки до точки, і ротор якої дорівнює магнітній індукції поля:

. (10.26)

Підставою для представлення індукції у вигляді ротора від вектор-потенціалу служить те, що дивергенція довільного ротора тотожно рівна нулю.

Оскільки в магнітному полі , то, підставивши сюди замість його вираз , одержимо:

.

На відміну від скалярного магнітного потенціалу , який можна застосовувати тільки для ділянок, не зайнятих струмом, векторним потенціалом можна користуватись як на ділянках не зайнятих струмом, так і на зайнятих струмом ділянках.

В електротехнічних розрахунках векторний потенціал застосовують при визначенні магнітної індукції у відповідності з виразом (10.26) і при визначенні магнітного потоку, що пронизує будь-який контур.

Векторний потенціал в довільній точці поля зв’язаний з густиною струму в цій же точці рівнянням Пуассона.