10.4. Вираження ротора в різних системах координат

З рівності векторів: в свою чергу слідує рівність їх проекцій по трьох координатних осях декартової системи координат.

Проекція на вісь рівна:

. (10.8)

Візьмемо в площині деякий замкнений контур (рис. 10.4). Обійдемо цей контур проти ходу годинникової стрілки і складемо уздовж нього циркуляцію вектора , враховуючи зміну вектора від точки до точки.

Нехай проекції вектора на осі і в точці будуть і . В точці проекції вектора на осі і зміняться в порівнянні з проекціями в точці і стануть рівними:

; .

Проекції вектора на осі і :

в точці : ; ;

в точці : ; .

При складанні циркуляції на ділянках і необхідно брати до уваги лише «іксові» складові напруженості («ігрекові» складові перпендикулярні елементам шляху).

Складову на ділянці знаходимо як добуток середнього значення «іксової» складової напруженості на цій ділянці на довжину шляху :

.

Складові :

на ділянці : ;

на ділянці : ;

на ділянці : .

Просумувавши всі складові циркуляції вектора уздовж контуру , отримаємо:

. (10.10)

У відповідності з визначенням (10.8) проекції ротора на вісь поділимо циркуляцію (10.10) вектора на площу , обмежену контуром ; після чого проекція ротора на напрямок осі буде рівна:

.

Аналогічно запишуться проекції на осі і :

;

.

Просумувавши три останніх вирази, одержимо вираз ротора в декартовій системі координат:

(10.11)

Представимо формально вираз у вигляді векторного добутку оператора просторового диференціювання на вектор , тобто у вигляді:

.

Для цього перемножимо безпосередньо оператор на вектор :

(10.12)

Тут враховано, що ; .

Ротор будь-якого вектора, що використовується в теорії електромагнітного поля, можна також представити у вигляді визначника третього порядку.

Наприклад, в декартовій системі координат запишеться у вигляді:

. (10.13)

Якщо розкрити цей визначник, то отримаємо вираз (10.11).

Проекції ротора в циліндричній системі координат:

(10.14)

в сферичній систем координат:

(10.15)

10.5. Принцип неперервності магнітного потоку

Магнітний потік – це потік вектора магнітної індукції через деяку поверхню:

. (10.16)

Тут інтеграл береться по поверхні . Якщо поверхня замкнена сама на себе, наприклад, поверхня кулі, то потік вектора магнітної індукції:

. (10.17)

Досліди підтверджують, що магнітний потік, який входить усередину деякого об’єму, рівний потоку, що виходить із цього об’єму.

Отже, сума потоку, що увійшов в об’єм, і потоку, який вийшов із цього об’єму, рівна нулю:

. (10.18)

Цей вираз являє собою математичний запис принципу неперервності магнітного потоку.

Поділимо обидві частини (10.18) на об’єм , що знаходиться всередині замкненої поверхні , і визначимо границю цього відношення, спрямувавши об’єм до нуля:

або . (10.19)

Співвідношення (10.19) виражає собою диференціальну форму запису неперервності магнітного потоку. Воно справедливе для будь-якої точки магнітного поля. Значить, у будь-якій точці магнітного поля немає ні витоку, ні стоку ліній вектора магнітної індукції. Лінії вектора ніде не розриваються, вони являють собою замкнені самі на себе лінії (коло, еліпс тощо).

Вихровими називають поля, ротор яких відмінний від нуля. Оскільки для магнітного поля постійного струму , то у всіх точках простору, де , поле вектора являється вихровим полем.

У точках простору, де , і магнітне поле можна розглядати як потенціальне.